146 — 



ì. Abbiasi un insieme lineare ili elementi, che, per fissare le idee, supporremo 

 funzioni di una variabile oc. Indichiamo con A un'operazione distributiva, univoca, 

 applicabile ad ogni elemento f di questo insieme, ed il cui risultato, che si indicherà 

 con A(f), appartenga air insieme stesso. 



L'equazione A sia continua '*'. S'intende con ciò che ad ogni numero posi- 

 tivo e corrisponde un numero d tale che, per i valori di x pei quali è 



W)\ <d, 



sia corrispondentemente 



\A(f)\ <e. 



La somma di un numero finito d' operazioni continue è pure un' operazione conti- 

 nua ; il prodotto di un numero finito d' operazioni continue è pure un' operazione con- 

 tinua. Se A è continua, la potenza A" lo è dunque per ogni esponente n intero positivo. 



2. Neil' insieme dato di elementi, consideriamo una sottoclasse o insieme C di- 

 stinto dalla proprietà seguente : 



A. « Esiste, per l'insieme C, un numero positivo g tale che, qualunque sia l' e- 

 « lemento f di Ce qualunque sia il valore di x preso in un intervallo X, si abbia 



(1) \A n (f)\ <mg% 



« dove m è un numero positivo finito » . 



Come vedremo più avanti, in casi importanti e frequenti questa condizione si trova 

 verificata. 



3. L'insieme C costituisce evidentemento un sistema lineare. Se infatti f ed ' 

 appartengano a C, si ha 



| A"(/0 ! < mg-, | A»(/y | < m/ ; 



e quindi 



\A n (f-+-f x )\ < (m-hm 1 )g n ; 



la (1) è dunque soddisfatta per f-\-f\. 



4>. Si prenda una successione arbitraria di numeri 



& , flj . . . . tt n , . . . 



purché essi verifichino la condizione 



1 n 

 1)1 Yj 



(2) I a J < 



f ' 



dove ni , ri sono due numeri positivi ed ^ e minore dell' unità. 



(*) Nel senso stabilito da Hadamard, C. R. 9 févr. 1903, 



