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a) Per ogni elemento f di C, e per x nell' intervallo as, la serie 



(3) S(f)=%a n A»(f) 



ti = o 



è assolutamente convergente. Essa è inoltre uniformemente convergente, tanto rispetto 

 alla variabile x comunque presa in x, quanto per 1' elemento /*, comunque preso in C . 

 Per la continuità di A, 1' operazione A stessa sarà quindi applicabile termine a ter- 

 mine alla serie (3), la quale pertanto rappresenta, entro 1' insieme 6', un' operazione S 

 univoca e commutabile con A. 



b) L' operazione 5 è continua. Infatti, preso il numero positivo e arbitrario, si 

 determini p in modo che sia 



co 



n = p -+- 1 



indi, siccome è continua 1' operazione rappresentata da 



si determini d tale che per 



H = 



sia 



Ne verrà 



per \f\ < ò\ 



e) Infine, ponendo 



1/1 <^ 



W I < | 



| S(f) | < 8 



S(f) = <p, 

 appartiene a 0. Infatti, essendo p un intero positivo qualunque, si ha 



DO 



A?(<p)=%a n A n - ì -m, 



n = 



e quindi, per le (1) e (2) : 



, , . „ nini 



\A p {Cp)\ < nini 2j n g p ^ n = g p ; 



1 iq 



la condizione (1) è dunque soddisfatta dall'elemento ^, il quale pertanto appartiene a C. 

 ci) Riassumendo, « la serie (3), sotto le condizioni (1) e (2), rappresenta una 

 « operazione distri buitiva S che è univoca, continua, commutabile con A e che fa 

 « corrispondere ad un elemento di C, un elemento di C. » 



5. Fra le serie (3), merita di essere considerata in modo speciale la seguente 

 semplicissima 



co 



(4) s,(n = i>"^(/-). 



« = 



