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 La condiziono (2) è allora sostituita da 



(5) 1*1 <-; ?<i. 



fi' 



Sotto questa condizione, la S { è un' operazione che ammette le proprietà enumerate 

 al § precedente ; e poiché la serie è uniformemente convergente nell' insieme C e nel- 

 1* intervallo x, le potremo applicare 1' operazione A termine a termine. Otteniamo con 

 ciò, posto 



(p = S x (f), 

 che 



in altri termini, « avendosi 1' equazione funzionale 



(a) (p — kA((p) = f, 



« dove / è un elemento dato e (p un elemento incognito, la soluzione ne è data, sotto 

 « le condizioni (1) e (5\ dalla serie 



DO 



(4') <pz=%h«A n (f). » 



u = 



Sotto quelle condizioni, appartenendo a C la funzione /", vi appartiene anche la 

 funzione (p. 



L' operazione S 1 , sotto le dette condizioni di validità, verifica dunque V equazione 



simbolica 



S t — kAS 1 = 1 , 

 e si può pertanto denotare con 



S l = (\ — kA)-\ 



6. Elemento invariante dell'operazione A è detto ogni elemento q che ve- 

 rifichi T equazione funzionale 



(6) Q — kA(o) = . 



L'invariante o si dice relativo al numero k. 



Nessun elemento di C può essere invariante di A relativo ad un numero h tale 

 che sia : 



\k\ <-. 



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Infatti, se o fosse un tale elemento, si avrebbe dalla (b) stessa 



o — k n A n (a) ; 

 onde, dalla (1) 



| o | <C mk v g n ; 



o sarebbe quindi arbitrariamente piccola in tutto 1' intervallo X e quindi identica- 

 mente nulla. 



