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Risulta da questa osservazione che « la soluzione (4) della equazione (a) è unica 

 « nel campo C; » se infatti vi esistessero due soluzioni, <p e (p x , anche (p — (p ap- 

 parterebbe al medesimo campo e sarebbe soluzione di (&), contro ciò che abbiamo 

 dimostrato. 



7. Un primo caso particolare si presenta quando il numero g che figura nella (1), 

 si può prendere arbitrariamente piccolo. In tale caso la serie (4) converge per ogni 

 valore di k ; quindi « qualunque sia k , F equazione (a) ammette nel campo C una 

 « soluzione, ed una sola, data dalla serie (4j. » 



In questo caso, la serie (4) definisce univocamente l'operazione (1 — kA)~ x per 

 ogni valore di k e per tutto 1' insieme C . 



Nel medesimo caso, consideriamo 1' equazione funzionale in (p : 



(e) (p -+- a x A((p) -+- a 2 A(q)) n h a m A m (<p) = f. 



Scomponendo in fattori il polinomio 



a{z) = 1 -+- a x z -+- a t z' -\ h- a m z m 



si abbia 



a(z) = (1 — k { z)( 1 — k 2 z) ••• (1 — k m z) , 



essendo i numeri k } , k 2 ,...k m distinti, o no. Corrispondentemente, V equazione (e) si 

 scriverà (i fattori operativi essendo permutabili) : 



(6) (1 — / V i)(l — / V l) ... (1 — k m A) |^|=/*. 



Ora, per 1' ipotesi fatta su A , 1' equazione 



cp — k m A((p) = r 



ammette in C una soluzione (p. ed una sola ; così 



Cp — lì m _ A A{(p)=-(p l 

 ammette in C una soluzione (p ed una sola, ... ; infine 



Cp — \A{(p) = (p m _ x 



ammette una soluzione (p m ed una sola. Questa soluzione cp in , sostituita in (e) , la 

 soddisfa evidentemente ed è 1' unica. 



« Nel caso considerato, di Zk n A n trascendente intera in h , ogni equazione (e) 

 « ammette dunque una soluzione ed una sola in C . Se si indica con Q V operazione 



1 -4- a y A H- a 2 A 2 -\ «, n -4 m , 



« è Q~ l un'operazione univoca in C; ed è esprimibile mediante una serie di potenze 

 « di A sempre convergente, i cui coefficienti sono quelli dello sviluppo di 



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« in serie di potenze intere positive di z . Più generalmente se, nello stesso caso, 

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