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« @(z) è una funzione razionale qualsiasi, e (3(A) = P è l'operazione che si ottiene 

 « sostituendo A a z, l'operazione P è univoca in C ed esprimibile mediante una 

 « serie di potenze di A sempre convergente ». 



8. So la disuguaglianza (1) è verificata per un numero g, è naturalmente veri- 

 ficata per ogni numero maggiore. Esiste dunque, per questi numeri, un limite infe- 



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 riore ; sia esso - . Nel caso speciale considerato al § precedente codesto limite era 



nullo, cioè era r — co. Nei §§ seguenti, si considererà il caso di r finito e diverso 

 da zero. Dal § 6, abbiamo intanto che « non esistono elementi invarianti di A ap- 

 « partenenti a numeri di modulo minore di r. » 



9. Facciamo ora la seguente ipotesi : 



E. « Esistano due numeri, k ] qualunque ed r positivo, tali che sia 



r < | \ | < )\ 



« e che inoltre, per ogni elemento /"di Ce per ogni valore di oc dell' intervallo X, 

 « si abbia (m. essendo positivo finito) : 



(7) \A n ~ 1 —k l A n \ <~. > 



'\ 



Valendo la (7) per un numero r , varrà per ogni numero positivo minore: sia r 

 il limite superiore di tali numeri r i . 



Per la (7), l'operazione 1 — k y A dà origine ad elementi f soddisfacenti ad 



(7') I^-YxKS; 



gli elementi aventi questa proprietà costituiscono un insieme lineare C 1 contenuto in C. 

 Per ogni tale elemento f , la serie Xk 7ì A v f 1 e convergente assolutamente ed uniforme- 

 mente anche per k = k lì e quindi per ogni f. esiste un elemento (p in C tale che 



<p — \Af = f x . 



L' insieme lineare C ] si genera dunque dall' applicazione dell' operazione 1 - — k A al- 

 l' insieme C. 



IO. Consideriamo la serie 



(8) S(f) = y £k"(A»- 1 — k^), 



o 



dove si converrà di riguardare come nulle le potenze di A di esponente negativo. Per 

 l'ipotesi B, la serie S è uniformemente ed assolutamente convergente per \k\ <C r. 

 Ma ossa si scrive 



oo 



s(f) = — */ ■+- *S* WA *W i (f 1 =f— MW) 



e quindi 



