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dà l'espressione di (1 — kA)~ '(/",); in altri termini, come mostra una riduzione im- 

 mediata, la serie S soddisfa all' equazione 



(9) S — kAS = {k — k { )f , 



o, ciò che è lo stesso, 



In tal modo, vediamo che « sotto l' ipotesi B e per | k | «< r , l' equazione fun- 



« zionale (a) ammette in C una soluzione, data dalla serie ~S{f)'i essendo eccet- 



« tuato soltanto il valore k = k . » 



Si ha così la soluzione dell 1 equazione (a) in un campo più esteso di quanto si sia 

 trovato al § 5; infatti, mentre in quel § la soluzione era data dalla serie (4') limi- 

 tatamente ai valori \k\ < r, ora essa ci è data per tutti i valori | k | •< r x , eccet- 

 tuato k = k l , Nel caso in cui, nella serie S, sia \k\ <C r, si può ordinare per le po- 

 tenze di A e si trova subito 



S={k —k x )2k n A n ; 



la soluzione (8) coincide dunque colla (4') nel caso di \k\ <C >' ; mentre essa ne dà 

 F estensione pel caso 



r <\k\ < r x 



in cui la (4') cessa, in generale, di avere significato. 



11. L'equazione (9) non cessa di essere valida per k = k.. In tal caso, viene, 

 indicando con L V operazione S per k = k. , 



(X) 



(10) L = ^ i k ì ;(A , '- l — k l A n ) 



n = 



e la (9) diviene 



L — \AL = . 

 Onde « per il valore k = k l1 l'equazione funzionale (b) ammette soluzione, la quale 

 « è data da L(f), qualunque sia l'elemento f di C, purché L{f) stesso non sia nullo ». 



12. Per la proprietà B, si può, preso e positivo arbitrario, determinare n tale 

 che sia oo 



\Ln\ = \%k](A V - 1 — V V )]< £ - 



ll + l 

 Ora, si ha : 



L — — kf-h kjif — k x A) H H k'>(A"- 1 — k x A n ) H- L„ . 



e riducendo 



onde segue : 



L = — k'^'A 1 '^- L n , 



(11) lini fc?-*-U n (/) = — £(/") 



/f=oo 



