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Ne viene che « qualunque sia 1" elemento f di C, l'espressione 



(12) À'i' + 'A'V) 



« ha, per n = co, un limite che, se non è nullo, è radice dell'equazione (b, per 

 « k = k., cioè è un invariante di A relativo a k ] . » 



13. Distinguiamo ora l'effetto dell'operazione L secondo che essa si applica ad 

 un elemento appartenente o no a C l . Se f appartiene a C, non sarà in generale 



limk n -*~ l A"(f) = 0, 



poiché se ciò fosse per ogni /', il numero r andrebbe sostituito con k { . Ma se f ap- 

 partiene a C, , risulta dalla (?') che quel limite è zero. 



« Onde L(f) è nullo se f appartiene a C\ ; dea un invariante di A relativo a k x 

 « negli altri casi. » 



14. L'equazione (b) ammette dunque in C, come abbiamo visto, soluzioni per il 

 valore k = k { . Essa non ne può ammettere per valori di k diversi da h ì e inferiori 

 in modulo ad r . 



Infatti, sia, se è possibile, o una soluzione, appartenente a C, dell' equazione 



1 — k'A = 

 con 



ti diverso da h x , | li | •< r x < r . 



Poiché a appartiene a C, si ha (ipotesi B) : 



(7) \A--\ 0l - V"(o)| <-; 



' i 



d' altra parte 



£> „ >. ti 



¥ • A ia) = ? 



onde 



fe' h 



A n -\o) — k.A n ((o) = . ' o , 



A(O) = 77 , A M (fi?) = ^ , 



che. se « non è identicamente nulla e se lì è diversa da h x , contradice alla (7'). 

 Di più, l'operazione non può avere, neanche per k = k i: invarianti di 2° ordine o di or- 

 dine superiore, tali cioè che sia : 



1 _ h t A — hfi — V) ■ 



15. Nel piano della variabile complessa k, si descriva il cerchio di centro o di 

 raggio r x . Entro questo cerchio, si trova il solo punto k = k } per il quale l'opera- 

 zione A ammetta invarianti. Essi sono dati dai valori che acquista la somma della 

 serie uniformemente ed assolutamente convergente indicata con L per le varie f di 6", 

 quando questa somma non sia zero ; o, ciò che è lo stesso, dal 



\imh';-*- ] A"(f). 



