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 f> sarà un elemento di C determinato, dalla (13') si avrà 



f= T{(p) 



k — h l 



Ma T((p) appartiene a C, (§ 16); L(,p) appartiene ad Q ; il teorema è quindi 

 dimostrato. 



Evidentemente questa decomposizione di f è possibile in un sol modo. 



Nel caso in cui f appartenga a C , sia f , la formula (13') diviene, perchè 



(14) (1 — hA) ~\f x )=- T x f x )- 



essa vale per tutti i valori di \k\ <>', ? incluso k =-k ì . Per k=:k l , si ha 



Tif,) = %nk?-\A n - ] — VX/",); 



H = 



però, oltre a questa soluzione di 



cp - kA{Cf>) = f, 



si hanno tutte quelle che si ottengono aggiungendo a T(f x ) un elemento arbitrario 

 di Q l . È questa multivocità che costituisce la singolarità di (1 — hA)~ l per ft = & 1 . 



II. 



18. Ferme le ipotesi A e B : aggiungiamo ora una nuova ipotesi, che diremo 

 ipotesi C ; essa è la seguente : 



C. « Esistano due nuovi numeri, 1' uno qualunque h , 1' altro positivo r , tali 

 « che sia 



r < \h 2 \ < r 2 , 



« e tali inoltre che per ogni elemento f di Ce per ogni valore di x nell' intervallo X, 

 « si abbia 



m 

 (15) |A W ~ 2 — (àj-H-V^-^VV^I < ;£> 



« dove m 2 è un numero positivo finito. » Vale qui per r 2 la stessa osservazione fatta 

 per >\ al § 9 ; sia r" il limite superiore dei numeri r 2 . 



Sotto questa ipotesi, gli elementi f 2 ottenuti applicando agli f di C V operazione 



(10) (1 — v)(i - V) 



godono delia proprietà 



(is) K M ~%|<^; 



'2 



