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tali elementi f % costituiscono un insieme, evidentemente lineare, che indicheremo con 6 T 2 ; 

 l'operazione (16) muta dunque C in C 2 . Siccome si è veduto (§ 9) che 1" operazione 

 1 — k { A, applicata a C, genera C l , cosine concludiamo che 1 — fe g A, applicato a C, 

 genera C 2 . 



È dunque C 2 parte di C, , come C\ è parte di C. 



19. Consideriamo la serie 



co 



(17) S(f) = ^ i k r, (A n - 2 —{k i ■+- k 2 )A n - 1 H- £/ V i") 



dove si intendono identicamente nulle le potenze di A di esponente negativo. Per Tipo- 

 tesi C, questa serie è assolutamente ed uniformemente convergente per tutti i valori 

 di k tali che sia \k\ < ;•". Essa si può scrivere, scrivendo fuori del segno 2 i termini 

 per n = ed n — 1 : 



co 



S(f) = l h kj - l<{{k x -+- k 2 )f— kfeMf)) -4- /e ? 2>"A"(/ 2 ) . 



« = o 

 Ma poiché 1' ultima sommatoria rappresenta 



h\i—kAr%), 



così un calcolo immediato ci dea per S la proprietà 



(18) (S — kAS)f =(k — k x ){h — \)f, 

 o, ciò che è lo stesso, 



(18') (l_^4)-i— 1 s. 



In questo modo, « sotto 1' ipotesi C e per \k\ <. r , 1' equazione funzionale (a) 

 « ammette in C una soluzione data dalla serie S divisa per (k — k)(k — k 2 ) , ed 

 « eccettuati soltanto i valori k = k ì , k = fe . » 



Per i valori di \k\ inferiori ad r, la serie S si può ordinare per le potenze di A, 

 e si riduce immediatamente a 



(k — k l )(k — k g )2k n A n (fy ì 



la soluzione ora trovata coincide dunque colla (4'). Per i valori di \k\ inferiori ad r\ 

 la serie S, in forza della condizione (7), si può ordinare secondo i binomi 



A»- 1 — */*, (n = o, 1, 2,...); 



viene allora subito 



(19) (A — fc g )2fc n (A"- 1 — fcjA"), 



e quindi, per quei valori, la soluzione trovata coincide colla serie (8'). 



20. L'equazione (18) non cessa di essere valida per k — k y o h — k 2 , come la 

 serie (17) non cessa, per quei valori, di essere convergente. Indicheremo con L x , L 2 , 

 le operazioni funzionali rappresentate dalla (17) rispettivamente per k = k {1 k = k 2 . 



