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Esaminiamo dapprima la L { . Poiché è |&,| < r, , si può, per quanto è detto al § 

 precedente, trasformare la serie S nella forma (19) ; si ha pertanto 



Hf) = ( A i — k 2 )2k?(A n - 1 — \A n ); 



ora ciò mostra che all' infuori del fattore numerico h { — k , la Z non differisce dal- 

 l' operazione L definita al § 11. Questa operazione dà dunque (§ 13') come risultato 

 lo zero se si applica ad un elemento di C\, e un elemento di Q invariante relativo 

 a A',) in ogni altro caso. 



21, Passiamo ora a considerare V operazione Z g . Fatto, nella (18), k = k 2 , viene 



L 2 ~k,AL 2 = 0, 



onde L 2 (f) , se non è identicamente zero, è un invariante di A appartenente a k . 

 Ora, posto 



co 



L 2 . n == YJiW~" — (*, ■+■ Ky~ x ■+■ w v ) > 

 » -i- 1 



e preso £ positivo arbitrariamente piccolo, si può determinare n tale che, qualunque 

 sia T elemento f di C cui si applica Z. „ , si abbia 



\L.Uf)\ <£• 



Siccome una facile riduzione dà 



Z 2 = — ^-^'(A"- 1 — h x A n ) -+- Z 2 M , 



cosi ne segue 



n :=co 



(20) lini ^^(A'"- 1 — \A n ) = —L 2 . 



Ora il limite qui scritto non è sempre nullo : infatti, se così fosse si avrebbe in tutto C: 



e 



A n ~~ l h A n <f 



'1 ' 



contro 1' ipotesi che | & | è superiore al limite superiore r degli r . Ne segue che Z 2 

 non è sempre zero, e quindi esistono effettivamente invarianti di A relativi a k 2 . 

 Diremo O, 1' insieme (lineare) di questi invarianti. 



Evidentemente £> 2 non ha elementi comuni con 0, ; inoltre Q 2 appartiene a C, ; 

 infatti, se a è tale che sia 



o — k 2 A(o) = , 

 ne risulta 



A '° = Yr 



e quindi o soddisfa alla (7'). 



22. Se si applica L y all'insieme C x , si è già visto che si ottiene zero come 

 risultato (§ 18); quindi anche se si applica a C 2 che fa parte di (7, . Se si applica L 2 

 all'insieme <Z, per la (15') si può ordinare Z 2 secondo le potenze di A'\ e si ha 



