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di k = k^ se f appartiene a , poiché L l è nullo in questo caso, e al caso di k = k 2 

 se f appartiene a C 2 . Ma in questi casi, alla soluzione data dalla (23) va aggiunto 

 rispettivamente un elemento arbitrario di Q nel primo caso, di Q nel secondo. 



III. 



28. Nei §§ precedenti, siamo partiti dalla considerazione di un insieme lineare 

 C — i cui elementi sieno, ad esempio, funzioni di una o di più variabili — e di un'ope- 

 razione distri butti va e continua A applicabile agli elementi dell 1 insieme ; aggiungendo 

 la proprietà seguente : per ogni numero positivo h inferiore ad un numero positivo r, 

 era per ogni elemento / dell' insieme 



(24) I^V)|<^r, 



mentre per h > r, almeno per certi elementi di C la disuguaglianza precedente non 

 era soddisfatta. Converremo di esprimere questa proprietà dicendo, per brevità, « che 

 r è il « raggio di convergenza di A nell'insieme C. » Così, per il caso par- 

 ticolare considerato nel § 7, il raggio di convergenza di A in C è infinito. 



Abbiamo poi studiato, coli' ipotesi B, un' operazione particolare appartenente al 

 fascio 1 — ìiA ed avente la proprietà « di aumentare il raggio di convergenza di A. » 

 La proprietà che, per amore di brevità, esprimiamo con questa locuzione, consiste in 

 ciò: che per un valore & = &, superiore in modulo ad r, l'operazione 



B x = 1 — \A 



applicata agli elementi di C , dà origine agli elementi di un insieme C contenuto in C 

 e tale che il raggio di convergenza di A in C\ e un numero /^ , maggiore di r e 

 di | \ | . 



Sotto questa ipotesi, si sono verificati questi fatti : 



a) « Esistono uno o più invarianti di A relativi a k { , i quali formano un in- 

 « sieme lineare Q ] ; 



b) « L'operazione (1 — hA)~\ per tutti i valori \h\ <C t\ , si pone sotto alla 

 forma 



(1 _*,!)-. = T +_J_ i , 



« dove T è un' operazione univoca rappresentata per \k\ < r da una serie assoluta- 

 « mente ed uniformemente convergente che trasforma C in C x , ed L un operazione 

 « analogamente espressa, e che trasforma C in Q, ; 

 e) « Si può porre 



C = C\ -+- Q ì , 



« cioè ogni elemento di f risulta dalla somma di un elemento di C l e di uno di O l ; 

 « C ed Q non avendo elementi comuni. » 



