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Dopo ciò, coli* ipotesi C, abbiamo considerato un' operazione 



B 2 = l — k 2 A, 



cbe applicata a r produce un insieme lineare C 2 contenuto in 6", , tale che il raggio 

 di convergenza .ìi A in C sia un numero r maggiore di r l ' ) si ha precisamente 



r < |A, | < ')\ < \k 2 \ < r g . 



Talché BB muta C in C,, ed aumenta quindi da r ad r 2 il raggio di convergenza 

 di A. Nell'ipotesi dell'esistenza di B x e B 2 , si sono trovate proprietà analoghe alle 

 precedenti a), b), e); così si ha la formula 



(1 — kA)- 1 = T-\ L. H 4,, 



dove T 7 trasforma C in C 2 , mentre Z 1 trasforma C neh* insieme £2 degli invarianti 



a ft , ed Z, in Q , insieme degli invarianti relativi a fe 2 ; così pure, C viene a scom- 

 porsi in 



C=C 2 -t~Q 2 -hQ l1 dove ^H-Q^^. 



29. Prima di passare alla generalizzazione di questi risultati, consideriamo ancora 

 due casi speciali. Supponiamo che non esista un' operazione della forma 1 — k.A 

 atta ad aumentare il raggio di convergenza di A in C, ma che esista a queir uopo 

 un' operazione della forma 



B = (1 — h x A){l — k 2 A) ; (&, diverso da k 2 ) 



per modo che essendo B(C) = C 1 , e 



sia r il raggio di convergenza di A in Cj . Allora, come ai §§ 19 e seguenti, si avrà 

 la serie 



che rappresenterà 

 si definiranno le 



S(f) = %k n A n - z B 



n =0 



( & _ fei )( ft _/g ( l_/ i A)- 1 ; 



oo 

 » = 



che applicate a 0, daranno sia zero, sia invarianti di A relativi a /?,-; infine si avrà 

 anche qui che 1' insieme C si può scrivere (£2 t . Q 2 essendo gli spazi invarianti re- 

 lativi a k x e k 2 ) 



C=C 1 -+-i2 1 -f-0 2 , 



gli insiemi lineari C xì Q 1 , Q 2 essendo senza elementi comuni. Come nei citati §§, si 



