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ha che L ed L 2 non sono identicamente nulli, e che non esistono invarianti relativi 

 a numeri k diversi da k x e k 9 per \k\ <C r x . 



30. L'altro caso è quello in cui k 1 = k 2 , nel qual caso non è più applicabile, 

 come nel caso precedente, la formula fondamentale (23) del § 25. Nel caso di k l =k 2 , 

 si ha una sola operazione L. Accanto a questa 



co 



L—^k\ l A n - 2 B, 



n=sO 



dove ora 1' operazione che muta C in C ì è 



£ = (1-M)*> 



si consideri 1' altra operazione 



oo 



(25) L'=%nk?- l A n - 2 B, 



n — 1 



che è pure espressa, come si vede, da una serie assolutamente ed uniformemente con- 

 vergente. 



Si verifica subito che si ha : 



(26) L'—k ì AL' = — L; 



da cui, siccome L{f) è o zero, o un invariante di A relativo a k , cioè una radice di 



(p — k x A(p = , 

 risulta che L\f) sarà radice sia dell' equazione precedente, sia di 



(27) (1 — */)*$ = 0. 



Diremo Q,[ V insieme degli invarianti relativi a k e delle radici (invarianti di 2 d0 

 ordine relativi a k { ) dell' equazione (27) ; ne viene che tanto L{f) quanto L'(f) danno 

 elementi di ù[ . 



Ciò posto, la serie 



oo 



S(f) =^k n A n - 2 B 

 si può scrivere identicamente 



co oo oo 



S(f) =£ k-A^-'B-hik — k^ nk[ l -'A n - 2 B-h(k — k^ c n A n ~ 2 B, 



n = n = l n = 



dove le c n sono semplici funzioni razionali intere di k e k 1 ; o in altri termini, posto 



oo 



T = ^ c n A n ~ 2 B 



viene 



(28) S(f) =.L — (h — h t )L' H- (k — \) 2 T. 



