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Ora per il § 4, e) T muta lo spazio lineare C in se stesso ; inoltre, essendo 



< x -">"-= <*=*?*• 



la (28) ci dà 



(29) (l —hA)- 1 = T-\ L'-\ ,L. 



Da questa formula fondamentale si deduce infine che lo spazio C si scompone in 



c = c\ -h a; -, 



ed è questa la proprietà che si sostituisce in questo caso a quella del § 26. 



31. I casi trattati nei §§ precedenti si possono facilmente generalizzare. L' ope- 

 razione che, applicata ali* insieme C, dà un insieme C avente il raggio di conver- 

 genza r*j di A superiore ad r, può essere data sotto alla forma generale 



(30) B = (1 — V1W — k 2 A) q °- ■ • -(1 — M)**- 

 Allora si troverà per l'operazione (1 — kA)~ l la forma generale 



? /r(«i-l) r(ff*-2) r. . 



(31) (l-^r l ==!TH-S(±^^ 7 ±L-._ + . .n-^—), 



,._ | \A — fe z - ih — fei) (A — luì 1 '/ 



dove 7 1 è un" operazione rappresentata da una serie 



lc n A"B, 



convergente assolutamente ed uniformemente in 6', e che trasforma C in C x , mentre le 

 L[, . . . Lf- i ~ ' trasformano gli elementi di C negli elementi invarianti dei vari ordini 

 rispetto a h,-, costituenti l'insieme Q{. In seguito alla (31 ), si conclude che l' insieme 

 C è decomponibile negli insiemi C ] , Q , . . . Q> s , senza elementi comuni, nella forma : 



Qui si suppongono i moduli delle k x , & 3 , . . . & 2 compresi fra r ed rj . 

 Essendo poi 



b' = (i — feU)'-o — &U) f -2 .... (i — fe'^)*. , 



le k[, k' 2 k' v aventi i moduli compresi fra r x ed r g (r, > r^)', può accadere che B' ap- 

 plicata a C, dia un nuovo insieme C g in cui il raggio di convergenza di A è r % ; 1' ope- 

 razione BÉ trasforma allora C in C 2 , ampliando il raggio di convergenza di A da r 

 ad r 2 . L'insieme C, indicando con Q! t lo spazio degli elementi invarianti dei vari 

 ordini (*) relativi a h\ (ì = 1, 2 , . . . v) si trova scomposto così in 



6' = c 2 +a + ^ 2 H h a, -h a; -+- a; n h a; . 



(*) Cioè le radici delle equazioni funzionali 



O - KA{y)y = , (m = 1 , 2 , •••• t-) . 



