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Introducendo una terza operazione B" con ipotesi analoghe, poi una quarta B'", ecc.. 

 la scomposizione si può continuare. 



32. Per semplicità di notazione, supporremo che le operazioni che servono suc- 

 cessivamente ad ampliare il raggio di convergenza di A siano tutte della forma 



B { == 1 — kiA , (i — 1 , 2 , 3 , , . . m) 



con 



n-_i < J*f | < n> 



Indicheremo con C lo spazio che B l genera da C, con C{ quello che Bi genera da 



Cf_i ; porremo 



djk) = (k — k x ){k — \) • • • • (k — fe m ) , 



e con d' m (k) la derivata di d m (k) , infine faremo 



P=B l B 2 ....B m . 



L'operazione (1 — &A) —1 è allora rappresentata, per tutti i valori di k tali che sia 



I "• I "^s ' m i 



dalla formula 



(32) (1 - kA)~' = T-+-2 ^^ Z - 



» = i l 



dove è 



oo 



(33) T = J^c n A n ~ m P, 



« = o 



con 



™ _^ fe;'- — ft» 



La serie T è assolutamente ed uniformemente convergente per i valori | k | << r„, 



e per ogni elemento di C ; 1' operazione da essa rappresentata trasforma C in C m , 



in cui il raggio di convergenza di A è r m . In quanto al risultato di L t sopra un 



elemento di C esso è nullo o dà un elemento Oi invariante di A rispetto a k{. Dalla 



formula (31) segue, col ragionamento del § 25, che 1' insieme C è decomponibile nella 



forma 



m 



(34) C=C m -^^Qi. 



i = 



I casi possibili sono due : che una simile decomposizione ci possa condurre ad 

 esaurire, cogli insiemi fì t -, tutti gli elementi di C, in modo che 



m 



(34') c = 2a-; 



?■= i 



oppure che non si giunga a ciò. Allora, valendo la (33), saranno nuovamente possibili 

 due casi : o, giunti all' indice m non esistono più operazioni B della forma 1 — kA , 



