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atte ad ampliare il raggio di conseguenza di A, oppure ne esiste una successione indefinita. 

 Si noti infine la serie 



oo 



S = J±k n A n — m P, 



n = 



che soddisfa all' equazione 



(S — kAS)f = 9 m (k)f 

 ovvero 



S(f) 



(35) (\ — kA)- ì = ^ 



ò\n(h) 



IV. 



33. Veniamo ora a fare cenno di qualche applicazione della teoria precedente ; 

 per primo, consideriamo il caso, sebbene assai ovvio, di un insieme lineare C ad un 

 numero finito m di dimensioni. Se / è un elemento generico di questo insieme ed f lì 

 f 2 , . . . f m ne è un sistema fondamentale, ogni f si esprimerà nella forma 



(36) f= c'/j -+• c/ 2 H 1- Cmfm , 



dove Cj. c 2 .... c m sono costanti. 



Data un' operazione A (un' omografia) non degenere ed applicabile a tutto C, esi- 

 stono, come è noto, m invarianti di A linearmente indipendenti ; essi sono relativi 

 ad m numeri & , k 2 ,... k m distinti o no, radici di un'equazione che, come si sa, ò 

 detta equazione fondamentale di A. 



Per brevità, supporremo distinte le ni radici \ x , . . . k m dell' equazione fondamentale ; 

 il caso delle radici multipli, salvo qualche maggiore complicazione di scrittura, non 

 darebbe luogo a considerazioni essenzialmente diverse. 



Indicando con c? z - 1' invariante — unico, all' infuori di un moltiplicatore costante — 

 relativo al numero h;, allora, essendo 



Q; — hiA{Oi) , (i = 1 ,2 , . . . m) 



ogni elemento /"di C si può scrivere 



(37) f=c 1 o 1 -+-c 2 & 2 -l \-c m o m . 



V equazione 



<p — kA((p) = f 



si risolve dunque subito mediante la formula 



/<->o\ j C, II-. Cji* Cnfi-m 



(38) t = ì^k ^ì^±I a *+---+k^k a <"- 



Questa è un' espressione dell' operazione (1 — kA)~\ che ne dà un'unica determinazione 



