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per i valori di h diversi da k y , & 2 ,... k m , e dalla quale si possono dedurre sviluppi 

 in serie di potenze di k. Supponendo infatti 



si ha da (38), per \h\ <C \k { | : 



"iOj , . C t „G) m 



oo 



„ — n \ K l 





che in altra forma si scrive, richiamando l'espressione (37) di f : 



oc 



-1, 



(1 — kA)- 1 f=%k n A n (f). 



n = 



Ritroviamo così lo sviluppo (4'). 



Sia ora k compreso in modulo fra \k s \ e [ k s _ iml | . Moltiplicando la (38) per 

 (k ì — k)(k 2 — k) . . . . (k s —k) — d s {k ) , viene 



S III j 



(39) d s {h)(p ^J^ck^k—k) . . . (A*-*— k){hi+ x —h). . . {k s — kfa+dME k^h 0i ' 



1 = 1 (=S+1 ' 



Sviluppando questa espressione in serie di potenze di k per [ k | < | /^_f_i | , si ottiene, 

 come si può verificare con calcolo facile, la serie indicata con S nei §§ 10, 19, 29 

 e 31. Inoltre la espressione (39) stessa indica la decomposizione dello spazio C in 

 due parti : lo spazio degli elementi invarianti a lì (d 2 , . . . o s , e quello C s degli elementi 



in cui il raggio di convergenza di A è |A\ ? _|_i|; decomposizione indicata, per il caso 

 generale, al § 32. 



34. Come seconda applicazione, consideriamo 1' insieme C delle funzioni di una 

 variabile reale data nell' intervallo .... 1 , limitate ed integrabili. Essendo a(x , t) 

 una funzione limitata e continua delle due variabili x e t nel rettangolo <C x <■ 1 , 

 <• t <C 1 , T operazione A sia definita dall' espressione 



(40) A(f) = \a(x, t)f(t)dt . 



Essendo 1' integrale una funzione continua e limitata di x , esso è un elemento 

 dell' insieme C ; si possono quindi definire in codesto insieme le operazioni A', A 3 , . . . 



Sia (i superiore ai valori assoluti di f(t) nell'intervallo 0....1, m superiore al 

 valore assoluto di a(x , t) nel quadrato <C a? <C 1 , <! £ <C 1 ; sarà 



| A(f) | < (jmx 

 e quindi 



(41) \A\f)\<^^,...\A^n\<t 



Serie VI. — Tomo III. 21 



