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Queste disuguaglianze dimostrano che, secondo la locuzione introdotta al § 28, il 

 raggio di convergenza di A nell'insieme C è infinito. Siamo dunque nel caso 

 studiato al § 7. L'equazione 



(6) <p — kA(q)) = 



non ammette quindi soluzione per alcun valore di k; in altri termini, l'operazione A 

 non ha invarianti in C . L' operazione 



(a) (p — hA((p) = f, 



dove f è data in C e (p è incognita, ammette in C una soluzione, ed una sola, data 

 per tutti i valori finiti di h e in tutto 1' intervallo < x <C 1 , dalla serie uniforme- 

 mente ed assolutamente convergente : 



co 



(42) (p(a>)=^k n A n (f). 



ii = o 



La serie (42) è una funzione trascendente intera in k . 



35. Con procedimento dovuto al Volterra ! * ] questa serie (42) si può modificare 

 in modo notevole. Ponendo a^x, t) invece di a(x, t), si ha 



A(f) = {f(t)a 1 (x ì t)dt- 



J 



ora si faccia analogamente 



(43; A n (f)=zjjÌt)a n (cv, mi- 



ne verrà 



AA n (f) — A n + 1 (f) = (l l (a>, t)[) Xt^aja, tjdtfl , 



J J 



ed applicando la nota formula per l' inversione delle integrazioni, dovuta a Dirichlet. 



viene 



A"+\f) = \f[t ì ) fa^x, t)a n (t, t x )dtdt ì , 

 Jo Jt, 



onde fra le a„ la relazione ricorrente : 



(44) a n ^_ x (x, t) = I a { ( x, u)a*,(u, t)du. 



J 



La (44) viene così a scriversi : 



rx °° 



qMx) = f(x) h- f{t) 2 k n a n (x, t)dt 



(45) Jo »=i 



r x 



a x (x, t) = a(x, t), a n (x, t) = j a^x, u)a n _ l (u, t)du . 



(*) Atti della R. Accad. di Torino, T. XXXI, 11 gennaio 1896. 



