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 È notevole la forma che si può dare qui a41a i e g g e degli indici: 



Questa relazione si scrive infatti 



J'x rx rt 



f(t)a m + n (x, t)dt= \a m (x, t) ifitja^t, t^dtflt 

 o J o J o 



ed applicando ancora l' inversione di Dirichlbt : 



r x r x f x 



f(t)a,„ + n (x, t)dt — ft { ) a m (x, t)a„(t, t [ )dtdt l , 

 onde, la relazione valendo per ogni f(t) : 



(46) ««+«(*, = ctnii®, u)aju, t)du . 



J t 



Questa è la formula (7) della Memoria citata dal Volterra. 



36. L'applicazione così semplice della teoria generale, data al § 34, conduce 

 anche alla soluzione, dovuta al Le Roux e al Volterra '*', di un problema d' inver- 

 sione d' integrale definito. Sia f una funzione finita, continua, derivabile nell' inter- 

 vallo ... 1 , gli estremi compresi, e la cui derivata sia pure finita e continua nel- 

 1' intervallo ; sia inoltre /\0) = 0; sia a(x, t) finita e continua entro il quadrato 



< x < 1 , < t < 1 , 



e che ammetta in quel campo la derivata a(oo, t) rapporto ad x, pure finita e con- 

 tinua. Si ponga 



a(x, x) =z h(x) , 



e si supponga il limite inferiore dei valori assoluti di h x) differente da zero. 



Sotto questa ipotesi, sia da risolvere, rispetto alla funzione incognita (p(t), l'e- 

 quazione funzionale 



(47) Ì0{t)a(x, t)dt = f(x); 



in altre parole, sia da eseguire l'inversione dell'integrale definito che costituisce 

 il primo membro della (47). 



Deriviamo pertanto la (47) rispetto ad x ( **> ; viene 



J 1 OC 

 q}(t)a(x, t)dt H- (p(x)h(x) , 

 



ossia 



(*) Lavoro citato 



(**) Seguendo in ciò il Le Roux. Annales de V Éc. Normale, S. II, T. VII, 1895. Cfr. Picard, Coni- 

 ptes Rendus, 25 juillet 1904. 



