^ )= j?<s£r*' 



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 Indicando con A l'operazione espressa da 



oc' .V, t) 



h{x) 



l'equazione (44) appartiene al tipo risoluto nei §§ precedenti, il parametro k avendo 

 ora il valore — 1 . Esiste quindi per questa operazione una soluzione unica, data 

 dalla serie uniformemente ed assolutamente convergente nell' intervallo ... 1 : 



e questa, col metodo indicato al § 35, si trasforma in 



^50) / [ ' n ^)Jo n=l 



) «'(a? t) c x 



f a x (oc , t) = ' , d n (& , t) = a,(^ , u)a n _ ,(w , *)dw , 



che è la formula di Volterra per la risoluzione della (47). 



37. Importantissimo è l'altro caso di risoluzione dell'equazione lineare (a), trat- 

 tato dal Fredholm '*'. Consideriamo ancora l'insieme C delle funzioni finite e continue 

 nell'intervallo 0...1, e la funzione a(x : t) finita ed integrabile nel quadrato 



< x < 1 , < t ■< 1 . 



L' operazione A sia ora data, f essendo un elemento arbitrario in C, da 



«/ 



151) Aif) = l/^jtt'a?, *!cft. 



«/ 1) 



Questa operazione è evidentemente continua nel senso stabilito al § 1, e si ha, ni e 

 fd avendo lo stesso significato che al § 36 : 



(52) \A n {f)\< {im n . 



Il raggio di convergenza dell'equazione A nell'insieme C non è dunque in- 

 feriore ad — . 

 m 



Per I k I < — , 1' equazione 

 1 ' m 



(a) (p — kA(<p) = / 



ammetto in C un' unica soluzione, data da 



oo 



(53; </J=2* n il n (/'), 



«=0 



ed in corrispondenza non esistono invarianti di A . 



(*) Ada Math., T. XXVII, p. 365 (1003). I/Autore osserva (pag. 366) che la sua formula di ri- 

 soluzione contiene come caso particolare quella del Volterra. 



