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38. La serie (53) è, per \k I << — , convergente assolutamente, ed uniformemente 



m 



tanto rispetto ai vari elementi f di C, quanto rispetto ai valori <C x <C 1 della 

 variabile. Ora il risultato del Fredholm si può, al nostro punto di vista, enunciare così : 

 « Esiste una funzione intera di k : 



(54) 



àik)= 1 -+-g.k 



gj* 



2! 



g n k n 



« tale che il prodotto di d(k) per la serie (53) dà : 



(55) 



d(h)lk-A-(n = ^— ì 6 n (f) ì G (f)=f, 



»=0' 



« dove anche la serie del secondo membro è funzione intera in k. » 



Per mostrare come ciò sia, si noti che dall' uguaglianza dei coefficienti di k", 

 la (55) dà 



» =A n+ gA 



^2_AÌ1 — 2 . 



n\ ' " r ~ ' 2 



onde segue subito la relazione ricorrente 

 (56) nAG n _ ì = G n — g„f; 



relazione da cui, inversamente, si risale alla (55). Ora, posto 



"I A«0 A*) 







si ha subito la (56) per n = l ; posto 



r l r T I a(t, t) a(t, u 



w — 1 ! ni 



ia(t, t)dt — g x , 



i/O .' 



a(x , t) a(t, t) 



dt = G„ 



f * f M out , i) u\J, 

 JoJo | «(«, «U«, 



e 1 ! 



w) 



d£c?M = £ , 



A») AO A») 



a(xt) a(tt) a{ut) dtdu = G n 

 a(ccu) a 1 tu) a(uu) 



si verifica immediatamente la (56) per wr=2. E così via; facendo cioè in generale 



ff-f 



JoJo «-J 



i/ .-' J e 



«(*, ^) 



a(^y . 



. a(t x t n ) 



a(*„ ^) 



A») 



«(#£ ) 



a(t n t 2 ) . . 



A',) • 



a(t x t x ) . . 



• 01 In "n ) 

 ■ f(t n ) 



. a(t x t n ) 



caI w £7? ) 



a(t n t x ) . 



• ' Oi(Z n Z n ) 



utj • • • ciz n — g n , 



dt x • • • dt n =. 67 n (/") , 



(*) Detto dal Fredholm determinante dell'equazione (a) 



