— 170 — 



si verifica la (56) per un valore qualunque di n. Allora mediante l'applicazione di 

 un teorema di Hadamard sul valore assoluto massimo di un determinante, il Fred- 

 i-iolm nota che è 



\9n | < {i n l/n n , \G n \< ii n + l \/{n -+- 1 )" + ' , 



ed è quindi dimostrato che le serie 



ò\k), jEGntf) 



fu ■ 



sono funzioni intere di k . La formula (35) è così dimostrata. 



39. È ora facile d' applicare a questo caso le cosidette considerazioni generali 

 della teoria del Gap. III. Siano k { , k . . . . h n , . . . le radici della funzione intera d(k) 

 in ordine di modulo crescente, e siano s , s , . . . s„ , . . . i rispettivi ordini di molti- 

 pliche. Poniamo, r essendo un numero positivo arbitrariamente grande, che ft, , h , . . . k m 

 siano tutte e sole le radici di modulo inferiore ad r, e facciamo 



d(k) = d\ n (h)p m (k). 



Si ha allora, dalla (55). dapprima per I k I <C — : 



1 ' m 



00 1 °° k n 



(57) ^»WS*-AVJ = Y7k) S n\ Gn{f) ' 



»/ — r m V/n^0 



a scrivendo 

 la (57) diviene 



d m (k) = 1 -+- a ml k -+- a mì k 2 -+- • • • a mq k q 



oo 



(57') 2 VXA n -ha ml A m - 1 -*-a m2 A m ~-*-h-.-a m(l A m -«)== 7r7 ^ 2 ~^n(f), 



n— 



1 ^ k" 



/°«( A )» = n! 



dove ora il confronto col secondo membro dimostra la convergenza assoluta ed uni- 

 forme del primo membro per tutti i valori di k inferiori ad r in valore assoluto. 

 L' applicazione della operazione 



A q -+- a ml A q '-H- • • a mq _ 1 A -+- a 



m.q 



agli elementi di C aumenta dunque fino ad r il raggio di convergenza, e ci troviamo così 

 nel caso studiato al Cap. III. Per ogni valore di k diverso da k xì h 2 , . . . V equazione (a) 

 ammette una soluzione ed una sola: per ogni valore k = k^i = 1,2,...), 1' equazione 

 ammette infinite soluzioni, che si ottengono da una di esse aggiungendo un elemento del- 

 l' insieme invariante relativo a k{, ed il metodo del citato Cap. Ili insegna colla serie 2 1 , 

 a trovare una delle soluzioni, e colle serie L, a trovare gli elementi invarianti. 



40. I casi che rientrano nelle teorie del Cap. Ili, come quello di un insieme C 

 ad m dimensioni, quello trattato dal Le Roux e dal Volterra e quello considerato in 



