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generale dal Fredholm, non sono però i soli che si possano presentare. Anzi si potrebbero 

 riguardare questi, dove gli elementi invarianti si presentano solo per valori speciali 

 del parametro k, come singolarmente semplici. Per mostrare, con un esempio ovvio, 

 come si possa invece verificare il caso che per ogni valore di k si presentino elementi in- 

 varianti, consideriamo V operazione A ridotta alla semplice operazione D di derivazione. 

 L' equazione 



(58) (p—kD(p~f, 



dove f è, p. es., una funzione finita è continua neh* intervallo .... 1 , ammette in- 

 finite soluzioni parimente finite e continue per ogni valore di k ; esse si ottengono 

 da una qualunque di esse coli' aggiunta del termine 



X 



ce* 



e essendo una costante arbitraria. In altri termini, 1' elemento invariante, soluzione di 



(59) (p — kD(p = 



è funzione continua di k , invece di esistere, come nei campi C degli esempi prece- 

 denti, solo per valori particolari e discreti di k. 

 La serie 



(60! Ik n D n f 



è generalmente divergente e non vale a dare la soluzione dell' equazione (58) se non 

 in un campo funzionale limitato. Questo campo è 1' insieme C' delle funzioni intere 

 d' ordine 1 



OC yì 



C/ytfl 



per le quali 



m 



<~n, r <\ k 



Le derivate delle funzioni di C' appartengono evidentemente all' insieme C' stesso. 



Per ogni elemento f di C\ la serie (60) è assolutamente ed uniformemente con- 

 vergente ed appartiene a C' stesso ; inoltre è la sola soluzione di (58) appartenente 

 a questo insieme. Ma non si può applicare la teoria generale in quanto permette di 

 aumentare il raggio di convergenza di D ; a meno che non si restringa ancora il 

 campo C' riducendolo all' insieme delle funzioni della forma 



X 



2g n eK, 



dove il numero dei termini è finito, o, se infinito, dove la serie, insieme a quelle 

 ottenute mediante la derivazione termine a termine di tutti gli ordini, è convergente 

 e rappresenta un elemento di C. 



