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L' equazione della retta polare in rispetto alla conica (5) di un punto qualsivoglia 

 (og , y : z) della conica k { può scriversi 



0) Px.-h QyH- Rz = , 



nella quale è 



P = l~a — p 2 @ -+- nly, Q=. — p'a -+- m 2 /9 -+- mw^, 5 = Ina •+• mnd -+- n s y, 



e come questa polare deve riuscire tangente la conica k così essa dovrà soddisfare 

 F equazione (2), dovrà cioè essere 



7) (ti 2 — lm)R 2 -+- 2nlQR -+- 2mnRP — 2n 2 PQ = , 

 ossia sostituendo alle P, Q, R i loro valori e riducendo 



8) (Jr-hlm)n 2 \l 2 a 2 -hm z p 2 -+-n*f-h2mn 3y-\-2nlya ] -4- 2n s {h 2 lm —p i — 2pHm)a i 3-hO . 



Affinchè T equazione (5) rappresenti una conica coniugata alla k l si dovrà attribuire 

 alla p 2 valore tale da rendere V equazione (8) equivalente alla (1) : porremo per ciò 



h 2 lm -+- j5 4 — 2p 2 lm = — (h 2 -+- lm)h 2 . 

 onde 



9) p 2 — — Im ztz (ti 2 -+- Im) . 

 La soluzione 



2 7 2 



pr = ti 



non dà una nuova conica e esprime soltanto che la k (come ogni conica) è coniugata 

 a se stessa, cioè conica autoconiugata : il valore 



p 2 = — (ti 2 -+- 2lm) 



sostituito nella (5) dà 1' equazione 



10) h 2 ■== fa 2 -+- m 2 8 -+- n 2 y 2 -+- Zlmfio -h 2nlya -+- 2(ti 2 -+- 2lm)a@ =■ : 



sono dunque coniche coniugate le coniche k x (1) e k (10) e la sola k 2 è coniugata 

 alla k e a contatto con essa nei punti A e B. 

 Nel caso particolare fosse data 



h 2 = — Im 

 l'equazione (1) si ridurrebbe alla 



(Ix -\- my -+- nz) 2 = ; 



la conica data k^ sarebbe una conica degenere formata dal sistema di due rette coin- 

 cidenti e i due valori della p 2 coinciderebbero col valore 



2 7 7 2 



onde un sistema di due rette coincidenti riguardato come conica non ammette conica 

 coniugata e si può soltanto ritenere come conica autoconiugata. 



