EINLEITUNG. 5 



auf w bezogen, so win! auch id = u -j- iv' eine Halm beschrei- 

 ben, welche einer Gleichimg 



(f>' («', v') = 



entspricht, und die Abbildung der Bahn q> genannt werden kanu. 



Die Kurve <p werde dann und wann mit dein Namen Objekikurve, 

 die Kurve 9' dementsprechend mit dem Namen Bildkurve ange- 

 gedeutet. 



Die conformen Abbildungen, welche dureh Funktionen w' ' = f{w) 

 einfacher Natur veranlasst werden, brauchen jetzt nicht eingeliend 

 erforscht zu werden; sie sind ja schon griindlich erledigt. 



Es 1st viehnehr unsere Absicht die conformen Abbildungen zu 

 ermitteln, welche zusammenhangen mit Funktionen , die in Compli- 

 ziertheit der Geslalt Fiber die auf diesem Gebiete gewöhnlich auftre- 

 tenden fiinausgehen . 



Die Forschung wird von der oben dargelegten Methode wesent- 

 lich unterstützt. 



Wie schon vorher bemerkt wurde, giebt jede algebi'aische Funk- 

 tion zu eiu er ge wissen Strahlencongruenz veranlassung. Es hat jedoch 

 nicht jede Strahlencongruenz die Eigenschaften, welche es ihr ermög- 

 lichen die Darstellung einer Funktion zu sein. 



Bekanntlich wird eine Congruenz vertreten durch zwei Gleichun- 

 gen zwisehen den vier unabhiingigen Parametern p l , p 2 > P%> P4 der 

 Geraden, etwa durch 



^(/>i,/^,/>3>/> 4 ) = 0. 



Es lasst sich zeigen, dass von einer „Abbildungscongruenz" 

 ((p, 40 die Gleichung Cf> = willkürlich angenommen werden darf, 

 dass jedoch die Funktion vp = zwei simultanen partiellen Diffe- 

 rentialgleichungen genügen muss. 



Für unseren Zweck ist nun folgender Satz von grösster AYich- 

 tigkeit: Eine Congruenz, welche eine gewisse Funktion darstellt, 

 vertritt zugleich eine Gruppe anderer Funktionen, die im allgemeinen 

 eine verwickeltere Form aufweisen. 



Die Erliiuterung dieses Satzes moge auf den sechsten Abschnitt 

 verschoben werden, wo wir ausführlich darlegen werden, wie mit 

 Hülfe einer namlichen Congruenz mehrere Funktionen abgebildet 

 werden können. Allein mochten wir, in Bezug auf die technische 

 Analyse, welcher wir die zu untersuchende Congruenzen in den 

 folgenden Abschnitten unterwerfen, hier betonen, dass das Haupt- 



