ERSTER ARSCHlMTT. 



Wah l der Coo r dl nat ens y s te me. 

 Ii e z e i c h n a n (/ e n . 



§ 1. In Betracht der folgenden Erörterungen, welche von über- 

 wiegend analytischer Art sind, ist es von grosster Wichtigkeit genau 

 zu überlegen, in Bezug auf welches Coordinatensystem wir unsere 

 Gebilde durch Gleichnngen bestimmen werden. 



Handelt es sich uni die wahre Gestalt der figuren, so liegt es 

 nahe, ein nieht-honiogenes Cooidinatensysteni zn verwenden. 



Betrifft es aber Eigenschaften, welclie nnr die gegenseitige Lage 

 der verschiedenen Grnndgebilde in Betracht ziehen, — w'ollen wir 

 z.B. entscheiden, ob eine Knrve durch einen gewissen Punkt hin- 

 durchgehe, ob dieser Punkt singular sei, welche seine Tangenten 

 seien, oder ob eine gewisse Ebene eine gegebene Gerade entlialte, 

 von welcher Ordnung eine gew : isse Regelfhiche sei, — so bietet 

 ein homogènes Coordinatensystein unschatzbare Vorteile, besonders 

 wenn seine Coordinatenebenen mit Ebenen zusammenfallen, welche 

 in Bezug auf die zu untersuchenden Gebilde eine spezielle Bedeu- 

 tung haben. 



Die wahre Gest.dt ist natürlich dann massgebend, wenn wir 

 wissen wollen, wie es steht uni die Bildkurve einer gewassen 

 Kurve, z. B. eines Kreises. Es sei z. B. diese Bildkurve eine Lem- 

 niscate. Die synthetische Betrachtungen würden uns lehren, dass 

 ein gewisser Kegelschnitt sich abbildet in eine biquadratische Kurve 

 mit drei Doppelpunkten, von denen zwei überdies gewöhnliche Punkte 

 des abgebildeten Kegelschnittes sind. Wenn wir jedoch nachher die 

 beiden letztgenanntcn Punkte mit den Kreispunkten identilizirt 

 haben, ergiebt sich für den Kegelschnitt ein Kreis und für die 

 trinodale Kurve vierter Ordnung eine Lemniscate. 



