TJEBER DIE ABLEITUNG- DEE ALLGEME1NEN POLYTOPE, U. S. W. 1 5 



(/V) [>' = 3] ; Q] (;; 6 ") [,," = 3] !); 3. Klasse. 



Für die Konstruktion der P v + A vierter Klasse kommen nun 

 zunàchst die beiden schon erledigten Polyedereinfügungen in Frage , 

 die durch die folgenden Figuren charakterisiert sind : 



e e e s e ± 



l \ / 4 (Pi) [>' = % e x Qe, (P" 7 ), [>' = 4]. 



e 2 e 3 p 



Weiter kann aber ein P p + i vierter Klasse dadurch erzeugt wer- 

 den, dass in das Diagramm P p eins der drei noch verfügbaren 

 Siebeuflache /J 7 U1 , p^ N , p^ eingefügt wird. Für diese Polyeder sind 

 die der Konstruktion zu Grunde liegenden Kantenzüge die folgenden: 



V 



"1 "3 



0y ii )>^ in =4];\ — ? (/v v u« iv =^];*i-^V 4 (/V'U/* v = 4 ]- 



Von den 3 Kanten der ersten Fignr gehören je 2 derselben 

 Grenzflàche einer Polyeders des Diagrammes an. Von den Ecken 

 e 2 , <? 3 , e 4 gehen demnach noch 3 freie Kanten, von e x noch eine 

 freie Kante aus. Bestimmt man auf diesen 10 Kanten die Punkte 

 e 1 2 , e 2 2 , e' d 2 ; e l 3 , <? 2 3 , e 3 3 ; e l 4 , e 2 4 , e 3 4 und e\, so làsst sich aus 

 diesen 10 Punkten ein ^ 7 IH konstruieren (vergl. Fig. 7) mit den 

 Flachen : a. = e 2 2 e 3 2 e 2 3 e 3 3 e 2 4 e 3 4 ; fi l : c 2 2 e 3 4 e l 4 e 1 l e\ 2 ; /3 2 = e\ 



e 4 e 3 e 3 C 1 ' ^3 =: e 3 C 3 e 2 G 2 e 1 ' "Vl = e 4 6 4 e 4 > ^2 ~ e 3 e 3 e 3 ' 



7 3 ;e 3 2 « 2 2 ^V Das P,, (e, X\ /*, /v) wird durch Einfügung dieses 

 Pl m zu einem P p + i (e + 6, £ + 12,'/+ 7, p + 1). 



Von den 3 Kanten der zweiten obigen Figur liegen ^ e 2 und 

 e 2 e 3 , sowie e 2 e 3 und e 3 e 4 je in einer Ebene eines Polyeders des 

 Diagrammes. Auf den 1 freien Kanten dieser 4 Ecken setze man 

 die Punkte e\ e 2 x e 3 x ; e\, e 2 2 ; e\, e 2 3 ; e x 4 , e 2 4 , e 3 4 so fest, dass diese 

 die Ecken eines jy 7 lv bilden , das dem Diagramm einzufiigen ist. 



l ) Die Konstruktion ft" = 2 ist entbehrlich. Denn hat sich ein gewisses P p +\ durch 

 sie aus einem P p ergeben, so reduciere man dieses P p+ \ durch AnwenduDg der Um- 

 kehrung von p' = 2 auf dieses eingefiigte p 5 in ein P , das natürlich ein andres sein 

 muss, wie das ebengenannte, denn die Konstruktion ft' = 2 erhöhte die Eckenzahlum 4, 

 ft" = 2 jedoch nur um 3. Es wird sich also das durch p" = 2 erzeugte P p +\ bereits 

 unter den mittels ft' = 2 gefundenen Polytopen finden. 



