UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U. S. W. 13 



ecke eines benachbarten Hufes, unci zwar die Scheitelkanten , die 

 eiuem Dreieck unci Viereck gemeinsam sincl, so class die 7 Drei- 

 ecke im Diagramm derart eine geschlossene Reihe bilden, class jedes 

 eine Ecke mit dem folgenden gemein hat: 



A' EI' — I'KN' — IS' M O' — O' GW — H' DC— C' LB'—B'F. I'. 



Daraus folgt, dass die dritte durch e l e 2 bezvv. <? 4 ' e 5 gehende 

 gemeinsame Flâche der beiden weiteren Hufe in diesen Kanten 

 stets ein Fünfeck ist. Die übrigen Kanten der Fünfecke des ersten 

 llufes sind somit stets Scheitelkanten der Fünfecke der Nachbar- 

 hufe. Wendet man nun auf den Kantenzug e 2 e 3 e 4 e b die vierte 

 Polytopkonstruktion an (auf das Polyeder die Konstruktion des 

 Schema a) der Einleitung), so sieht man leicht ein. dass sâmtliche 

 in Anspruch genommenen Polyeder wieder zu Hufen werden l ) und 

 es ergibt sich ein neues Diagramm (Vergl. Fig. 49), das wieder 

 denselben oben geschilderten Pau aufweist, wie das ursprüngliehe. 

 Durch die gleiche Betrachtung dieses und der folgenden Diagramme 

 erschliesst man also, dass für jedes p ein Polvtop aus lauter Hufen 

 p' v _i existiert. 



Schliesslich ist auch noch durch Betrachtung des Diagrammes 

 eines P p mit der Maximalzahl der Ecken zu zeigen, wie man ans 

 ihin Diagramme von Polvtopen P p + \ samtlicher zugehörender Klassen 

 ableitet, womit deren Existenz bewiesen ist. An dem Hufe A =p' p _i 

 befinde sich der Kantenzug e x , e 2 , e s , ... e p _ z . Wendet man auf 

 je 1 , 2, 3 . . . (p — 3) aufeinanderfolgende Ecken die Konstruktion 

 1', 2', 3' . . . (p — 3)' an, so erhalt man p — 3 Polytope der 1., 

 2., 3 . . . (p — • 3)-ten Klasse, cl. h. aller für P 1) + i vorhandenen Klas- 

 sen der Polytope, denn es ist /; — 3 == (p - - 1) — 4. 



Wir kehren nun zurück zur Ableitung der P p + \ drifter und 

 höhrer Klasse aus den P . Dass die bisher betrachteten Konstruk- 

 tionen /x' der Einfügung von Hufen in die Diagramme nicht hin- 

 reichend sein können zur Ableitung samtlicher P p + ], geht schon 

 daraus hervor, class Polytope existieren, unter eieren Polyedern sich 

 keine Hufe betinden. 2 ) Als fernere Konstruktionen allgeineineren 



') Die Absclmeidung der Ecken e 2 und e 6 der Hufe in den Enden des Kantenzuges 

 unterwirft diese der ersten Polyederkonstruktion in der gemeinsamen Ecke der beiden 

 Fünfecke; die Absehneidung von Scbeitelkanten e 3 e h u.s. w. der Fünfecke eines Hufes 

 durch die zweite Polyederkonstruktion führt aber stets wieder auf Hufe. 



2 ) Z. B. die (allgemeinen) regularen Polytope 7„ und X li0 (Schotjte, a. a. 0. S.207 

 und 213) — Hiernach sind auch die in „Elemente d. vierdirn. Geom." S. 40 etc. erlâu- 

 terten Konstruktionen zur Ableitung der Tetraederpolytope (Schoute, a. a. O. S. 34) 

 nicht hinreichend; denn sie sind nur die den bisher abgehandelten Konstruktionen der 

 allgemeinen Polytope dualistisch zugeordneten. Der kundige Leser wird sich die weiteren 

 Tetraederpolytopkonstruktionen leicht ergânzen. 



