12 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMKINEN POLYTOPE, U. S. W 



beweisen jetzt den früher behaupteten Satz, dass für jeden Wert 

 ron p f^> 5) Pol// tope existieren , deren tlckenzahl dieses Maxi mum 

 erreicht, (lurch den Schluss von p auf p -j- 1. Es existiere das 



Maximum M= - fur ein P p , und wir setzen voraus , dass 



'Z 



dann das Polytop einen Huf p' v _ , besitze (das vorher mit A 

 bezeichnete Polyeder). 



Die Zulassigkeit dieser Annahme wird sich zeigen. *) Aui' diesen 

 Huf wenden wir die Konstruktion p! ■= p — -3 an. Dies ist stattliaft, 

 demi die Flâche mit der Maximalzahl der Kanten des Hufesjö' p _., 

 ist ein (/; — 2)-eck; man kann also einen Kantenzug mitjö — 3 Eeken 

 abschneiden , und zvvar geschehe dies nach déni Schema ci) der Ein- 

 leitung. Der dem Polytopdiagramm dadurch eingefiigte Huf hat 

 dann 2 (p — 3) -j- 2 = 2p — 4 Ecken. Das neue Polytop besitzt also 

 sicher mindestens diesen einen Huf! Die Zabi seiner Ecken ist aber 

 gieich der Zahl der Ecken des ursprünglichen Poly topes, vermin- 

 dert um p — 3 und vermehrt uni 2 (p — 3) -J- 2, d. h. es ist 

 e' = M -\- p — 1 , oder 



, p (y;— 3) (y; + 1) (;;-2) p' (p'— S) 



2 ~ VP 2 2 



für p = p -j- 1 , d. h. das neue P_ + , hat die Maximalzahl M' der 

 Ecken. Nun existieren fur p = 5, 6, 7 Polytope mit der Maximal- 

 zahl der Ecken und mit Hufen , also ... u. s. w. 



Dass umgekehrt sàmtliche Grenzpolyeder cines P /J + 1 mit M' Ecken 

 yj-flache sind, ist nach dem Vorhergehenden selbstverstàndlich. Für 

 p= 5, (5, 7 existiert nur je ein Polytop mit der Maximalzahl der 

 Ecken und es sind siimtliche Grenzpolyeder in diesen drei Fallen 

 Haf e //,,_]. Schon für p = S gibt es vier nach Isomorphisms 

 verschiedene Polytope mit (1er Maximalzahl von 20 Ecken, und 

 unter diesen wieder eins, das lediglich von Hufen p 1 ' begrenzt wird. 

 Solrlie Polytope gibt es fur jeden Wert con p. Zum Beweise dieses 

 Satzes betrachten wir das Polvtop P 7 5 , bezw. sein Diagramm (Vergl. 

 Fig. 13). 



Sind e 1 e 2 e B e 4 e 5 und e, ej <? 3 ' e 4 ' e 5 die beiden Fünfecke irgend 

 eines beliebigen Hufes von P 7 5 , so sind e x e und e± e b gemein- 

 same Kanten je eines verschiedenen Dreiecks und Eiinfecks. Die 4 

 Nachbarkanten dieser beiden Kanten, die nicht Scheitelkanten der 

 beiden Fünfecke sind, sind stets Scheitelkanten der beiden Fünf- 



') Damit ist natürlieh nicht ausgeschlossen, dass überdies aucli Polytope mit der 

 Maximalzahl der Eckeu existieren, unter deren Grenzpolyedern sich keine Hufe befinden. 



