1 O UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLTTOPE, U. S. W. 



Kante AB und der innerhalb p 5 Hegenden Kantenteile A A^ u. s. w. 

 als neues Grenzpolyeder dein Polytope bezw. Diagramme eingefügt 

 ist. Dabei wird ant' die 2 Scheitelpolyeder der Kante A B in A und 

 B die erste Polyederkonstruktion angewandt ; ans den 3 Polyeder n, 

 die die Kante AB gemeinsam batten, wird dnrch die zweite 

 Polyederkonstruktion ebenfalls je ein Polyeder mit uni 1 vermehrter 

 Flâchenzahl. Aus dein P v (e , le, f, p) wird ein P p + 1 (e --(- 4 , 

 k -j- 8, / - - 5, p -j- 1.). Da dièse zweite Polytopkoiistruktion zu 

 einem P v + i mit uiindestens dein eingefügten p 5 fübrt, so ist sie 

 zur Ableitung (1er P p + , zweiter Klasse zuniiclist auf alle P zweiter 

 und liöhrer Klasse anzuwenden. Zweitens aber nocli auf aile die- 

 jenigen P p erster Klasse die nur ein p 4 besitzen ; sowohl auf dessen 

 Kanten selbst als Kanten AB, sowie auf seine Scheitelkanten , 

 deun in beiden fallen tritt an Stelle dieses p 4 einp 5 . Endlich sind 

 auch die P p erster Klasse zu berücksiclitigen , un ter deren Grenz- 

 körpern nur 2 Tetraeder J l J 2 A 3 A 4 und B l B 2 B 3 B A mit der 

 Scheitelkante A { B } auftreten , wobei an Stelle dieser Kante A\ Bj 

 das neue p~ tritt. 



Mit dieser zweiten Polvtopkonstruktion ist die Eindeutigkeit der 

 Konstruktioiien schon erscliüpft, da bereits für^; 6 zwei verscliiedene 

 Typen existieren, d. h. die Polytope dritter Klasse ihren Charakter 

 als solcher sowohl dem Vorkommen von p 6 ' wie p§ verdanken kön- 

 neu. Es soil nun zuniichst die Einfügung der Hu/e p§,p~,- ■ . p'„ 

 genauer betrachtet werden und wir bezeichnen die dazu nötige 

 Konstruktion als Polytopkonstruktion 3', 4'. . . 1 ). Es liege das Dia- 

 gramm irgend eines P p vor, das 2 Polyeder mit einem gemein- 

 samen A-eck enthalt. //. -j- 2 aufeinander folgende Ecken dieses A-ecks 

 seien e , e x , e 2 , . . ,e ll _ i , e fi , e, z + i , wobei im ungiinstigsten Falie 

 e mit e li + i identiscli ist. 2 ) (Allgemein sei fJL-\- k l<iX, so dass 

 noch weitere Ecken des A-ecks vorhanden sind). Man verbinde einen 

 Punkt e 3 auf e x e () mit einem Punkte e t 3 auf e /z e li + i durch die 

 Strecket'j 3 e t 3 , die also ganz innerhalb des Perimeters des A-ecks 

 verlâuft. Auf den noch verbleibenden je 2 Kanten von den Ecken 

 e x , e 2 . . . e, x im Diagram m , die nicht dem A-eck angehoren, fixiere 

 man die Punkte e { 1 , e { 2 ; e 2 l , e 2 2 ; e. a l , e 2 \ ... e f J. e 2 so, dass 

 die Punkte e l 1 , e* 1 , ^ 3 1 • • • e^}, sowie die Punkte e 2 , e„ 2 , ej 2 . . . e^ 2 

 für sich je in einer Ebene durch die Kante e^ e^ liegen. Durch 

 diese beiden (//, -\~ 2)-ecke, die beiden Dreiecke <?, * e { 2 e^, e (/ } e^ 2 e 3 

 und die //. — 1 Vierecke e 1 1 e 2 e 2 2 e 2 l , e 2 l e 2 2 e s 2 e 3 l , ... e 1 /i _ l 



l ) Es werde allgemein die Einfügung eines p n ' , p n " , [> n lu , ... in das Diagrarnm 

 durch die Konstruktion (ra — 3)', (ra — 3)", (ra- 3) ln , ... geleistet. 

 *) Vergl. Fig. 13" für ft = 4. 



