UEBER DIE ABLEITÜNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U. S. W. 9 



und weitere. Da un ter den Grenzpolyedern eines kdnvexen P p ein 

 p ' x das Vielflach höchster Flâchenzahl sein kann (es sind dann noch 

 p — 1 Polyeder vorhanden , von denen jedes eine seiner Flachen 

 mit dem p p _ t gemein hat) so kann ein P } zur ] , 2 , 3 . . . . 

 (p — 4)-ten Klasse gehören. 



Es wild sich zeigen , dass für jeden Wert von /; Polytope dieser 

 sâmtlichen Klassen existieren *) und sich konstruieren lassen. Diese 

 unsre niichste Aufgabe : Die Konstruktion samtlicher Polytope P p + x 

 ans den als bekannt vorauszusetzenden P p , werden wir an den 

 Diagrammen erlâutern. 



1st A eine Eeke eines Polytopes P p , und sind A x , A 2 , A 3 , A 4 

 Punkte anf den 4 von A ausgehenden Kanten , so konstruiere man 

 das Tetraeder A x A 2 A. d A 4 und tilge die innerhalb desselben lie- 

 genden Teile jener 4 Kanten sowie die Ecke A selbst. Dadurch 

 wird anf die 4 Polyeder in A die erste Polyederkon struktion ange- 

 wandt, d. h. von jedem wird eine Ecke abgeschnitten. Das neue 

 Poly top P p + 1 gehort der erst en Klasse nach obiger Einteilnng an , 

 denn es enthâlt mindestens das eine /> 4 !E A x A 2 A 3 A 4 . 



Aus einem P p (<? , h , / , p) beliebiger Klasse ergibt sich durch diese 

 erste Polytopkonstruktion ein Polytop erster Klasse P p + i (e-\-S, 

 /•-- 6, ƒ- - 4, p -\- I). Da durch alle weiterhin zu besprechenden 

 Konstruktionen die Zahl der Ecken uni niehr als 3 erhöht wird , 

 so ergeben sich die Polytope mit der Minimalzahl der Ecken durch 

 wiederholte Anwendung dieser ersten Konstruktion. Esbesitzt daher, 

 weil für jo = 5 auch e= 5 ist, ein P p das Minimum der Ecken 

 e = 5 -4- (p — 5). 3 = 3p — 10, wie früher behauptet war. Ueber- 

 dies lenchtet ein, dass zur Erzeugung der P p + { erster Klasse diese 

 erste Konstruktion auf smntliche P p zu erstrecken ist, und es sind 

 alle deren Keken zu berücksichtiffen. Ebenso wie bei Konstruktion 



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der Polyeder in P., wird auch hier dasselbe P /( + t sich zuweilen 

 ans mehreren P p ergeben, ja in Folge der Symmetrie selbst mehrere 

 Male aus demselben P Inverse d. h. spiegelbildlich-isomorphe 

 Diagramme sollen dabei überhaupt als gleichwertig angesehen 

 werden. 



Die zweite Polytopjconstruhtion. 1st A B eine Kante im Diagramm 

 eines P p , so seien A x , A„, A s und B x , i> , B $ Punkte auf den 

 iibrigen je 3 von ./ und B ausgehenden Kanten , derart dass A x 

 und B x , A. 2 und P. 2 , A 3 und B^ je auf Kanten derselben von den 

 3 Flachen liegen, die die Kante AB gemein haben. Diese 6 Ecken 

 ./, , A, 2 , A 3 , B x , B 2 , B 3 sind die eines p b , das nach Tilgung der 



') Man beaclite den Unterschied der Klassenzahl der Gebilde in i? 3 und i? t . 



