S UEBEE DIE A.BLEITUNG DER ALLGEMEtNEN POLYTOPE, U. S. W. 



fachen Charakter. Unter einem Hufe verstehe man ein Polytop, l ) 

 dessen sâmtliche Ecken zwei isomorphen p n zugehören, die eine 

 homologe Grenznache gemeinsam haben. Für dassel be p n lassen sich 

 demnach soviel Hufe in B A konstruieren , als vvesentlich nach Iso- 

 morphismus verschiedene Grenzflachen von p n in Frage kommen, 

 und es sind die erhaltenen Hufe der Zahl der Ecken etc nach 

 versohieden. 1st die gemeinsame Flàche der beiden p n ein A-eck 

 so ist fiir den Huf 2 ): 



e = 4 n — S — A ; k = 8 n — 16 — 2 A ; 

 f == 5 n — 7 — A ; p = n -J- 1 . 



Es sind z. B. die drei Siebenzelle P 7 \ P 7 2 , P 7 4 (Fig. 9, 10 nnd 12) 

 Hufe ans zwei p & ', in denen der Reihe nach ein Fünfeck, Viereck und 

 Dreieck gemeinsame Flache der beiden/;,.' ist. 3 ) DasSiebenzellP ? 3 (Fig. 

 11) ist ein Tint' ans zwei p 6 ". — Die zweite Art von Polytopen be- 

 sondern Charakters sind die Prismen.. Ein vierdimensionales Prisma 

 entsteht, wenn ein Polyeder p n so in i? 4 bewegt wird, dass seine Ecken 

 aeqnipollente Strecken 4 ) beschreihen, aber nicht in demselben Raume 

 B.j bleiben. Es besitzt also 2 kongruente „Deckranme" und n drei- 

 dimensionale Prismen als „Mantelràume". Dei- Huf P 7 3 ist zngleich 

 ein Prisma ans einem p 5 als Deckraum , wie sich erkennen lâsst , 

 wenn man das Polytop in eines der vier p 5 (z. B. ETA, F KB) 

 projiziert 5 ), oder aus Eig. 11; nur sind die von den Ecken E,I, 

 u. s. w, beschriebenen Strecken EH, I M , . . . ini Diagrainm nicht 

 aequipollent. Wir teilen nun analog den Polyedern zur Uebersicht 

 die Polytope in R± in Klassen , wobei wir das Vorkommen von 

 Polyedern bestimmter Flachenzahl als Grenzpolyeder zum Einteilungs- 

 princip wiihlen. Ein Polytop der ersien Klasse besitze unter seinen 

 Grenzriiumen p 4 (d. i. Tetraeder) und irgend welche p n grösserer 

 Flachenzahl (wenn p ^> 5 ist). Ein Polytop der zweiten Klasse besitze 

 keine p 4 mehr , aber p 5 und Polyeder grösserer Flachenzahl. Ein 

 Polytop i-ter Klasse besitzt keine j» 4 , p b , . . . p, + 2 , wohlaber/? ; + 3 



') Das Beiwort allgemein ist kiinftig stets weggelassen. 



') Vergl. raeine „Eleraente der vierdimens. Geometrie". Zwickau 1894. S. 46. 



3 ) la Fig. 9 ist das Fünfeck ABCDG gemeinsame Flache der beiden j> 1 c ; in den 

 andern Figuren ist die gemeinsame Flache sclnaffiert und für das innenliegende Polyeder 

 ist die fiinfeckige Fliiche mit dem Kantenzuge LIGAB bezw. A' MFB K aus dem 

 hintersten Fünfeck der àusseren Umhiillungszelle bis auf eine Kante heraustretend 

 vorzustellen. 



") Schoute, a. a. O. S. 37. 



5 ) Vergl. Elem. der vierdim. Geom. Taf. II. Fig. ll b . Die Diagramme der P 5 und 

 /' c sind dort auf den Tafeln gezeichnet. JP 3 (Taf. I Fig. 8) ist das aus 5 Tetraedern 

 gebildete „Simplex" (vergl. Schoute a. a. 0. S. 1) des ƒ.'„. P e l (Fig. 13" auf Taf. II) 

 ist ein Prisma aus j\ als Deckraum; P 2 (Fig. 14") ein Huf iiber p s . 



