UEBER DIE ABLEITUNG DEK ALLGEMEINEN POLYTOPE, U. S. W. 7 



stimmt sind, gilt der Sa/~: Die Anzald der Eeken eines allgemei- 

 nen Polgtopes mit p Polgedern (p > 5) ist nur an die Ungleic/mng 

 beztc Gleiclmng gebunden: 



Tn Verbind un g mit den obigen Gleicbungen folgt hieraus fur die 

 Anzahl der 2- imd 3-diniensionalen Begrenzungsstücke: 



2 (3 p — 1 0) < /; <p {p — 3) ; 



-P(P— 1) 



2(2/;- 5)</<' 



2 



Dabei werden für jede Zahl p der Polyeder die untcren und 

 oberen Grenzen für e, k und ƒ wirklich erreicht, wie spiiter zu be- 

 weisen ist. 



Kin konvexes Polytop in P 4 wird von einer Geraden, die nicht 

 vollstandig in einem Grenzraume 7^ liegt, in 2 Punkten geschnit- 

 ten. ') Verbindet man also einen Punkt ausserbalb des Polytopes 

 in R. mit allen seinen Ecken, so scbneiden diese Geraden bei passen- 

 der Wahl der Lage des Punktes einen Grenzraum in ebensoviel 

 Punkten, wie die ausserbalb dieses Grenzraumes noeb liegenden 

 Ecken des Polytopes betragen, und es ergibt sicli somit eine zen- 

 trale Projektion der übrigen begrenzenden Polyeder in diesen Ratini, 

 die als Diagramm (1er Polytopes zu bezeichnen ist. Wir werden im 

 allgemeinen das Polytop möglichst in ein Grenzpolyeder grösster 

 Klachenzahl projizieren. 



Ein in Zeilen geteiltes allgemeines Polyeder ist also als Diagramm 

 eines allgemeinen Polytopes aufzufassen , wenn in.jedem der Binnen- 

 punkte 4 Zeilen, in jeder Verbin dun gskan te zweier Punkte 3 Zei- 

 len aneinandergrenzen; das unihûllende allgemeine Polyeder ist der 

 letzte Grenzraum. Die Figuren 9 — 13 stellen die Diagramme dei- 

 al lgcmeinen Polytope P 7 dar. Projiziert man dasselbe Polytop in 

 verschiedene seiner Grenzraume, so erhalt man verschiedene Dia- 

 gramme d. h. Polyederteilungen, wie die Figuren 10 und 10" er- 

 làutern, in denen dasselbe P 7 einmal in ein begrenzendes p & ', das 

 zweite Mal in ein p b projiziert ist. Als Polyederteilung bat man 

 somit zwei verschiedene Lösungen, die ihr wahres Wesen erst offen- 

 baren, wenn man die Figuren als Diagramme vierdimensionaler 

 Polytope auftasst. — Unter diesen besitzen 2 Arten besonders ein- 



') Schoi te, a. a. O. S. 28, N°. 10. 



