6 UEBER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POLYTOPE, U. S. "W. 



innerhalb des Perimeters eines A-ecks so unter einander und mit 

 den A Ecken des Aussenpolygons zu verbinden, dass jeder der Binnen- 

 punkte mit nur je 3 andern Punkten, jeder der iiussern Polygon- 

 punkte aber nar mit einem Binnenpnnkte verbunden und die Flache 

 des A-ecks in n — • 1 einfachznsanimenhângende Zeilen geteilt wird. 

 Es ist ersichtlich , dass dieses Problem der Polygonteilung, weil ge- 

 wisse Zerlegungen verschiedenkantiger Vielecke Diagramme dessel- 

 ben Polyeders p n anf verschiedenkantige seiner Grenzflachen bezo- 

 gen *) darstellen, seine wahre Bedeutnng erst erhalt, wenn man 

 die geteilten Polygone als Diagramme dreidimensionaler Polyeder 

 auffasst. 2 ) 



§ 1. Von deu allgemeiiien konvexen Pol> topen. 



Unter einem Polytop (Vielzell) versteht man einc Reihe von Polye- 

 dern, die im vierdimensionalen Rautne derart mit einander verblin- 

 den sind, dass je ein Polyeder jede seiner begrenzenden Flachen 

 mit einem und nur einem andern Polyeder gemein hat, wobei durch 

 diese Reihe der Polyeder der R± in 2 getrennte Gebiete zerlegt 

 wird, ein „inneres" (endliches) und ein „ausseres" (unendliches). 

 Jedes der dreidimensionalen Polyeder liegt dabei in einem anderen 

 dreidimensionalen Raume. Die gemeinsame Flàche zweier Grenz- 

 polyeder liegt in der Schnittebene der beiden benachbarten Riiume. 

 Ein Polytop heisst allgemein, wenn jede seiner Ecken von nur 4 

 Polyedern gebildet wird, also in jeder seiner Kanten 3 Polyeder 

 aneinandergrenzen. 3 ) An jeder Ecke nehmen 6 Elachen Teil. 1st 

 e die Zahl der Ecken, k der Kanten, f der Flàchen und p der 

 Polyeder des Polytopes, so gelten neben der Gleichnng 



e — k -f ƒ — p = 



für ein allgemeines Polytop die Relationen 4 ): 



k = 2e; f = e -\- p. 



Wahrend für ein allgemeines Polyeder des dreidimensionalen 

 Raumes, das von n Flachen begrenzt wird, die Zahlcn der Ecken 

 und Kanten durch die Gleichungen e = 2n — 4, k = Su — 6 be- 



') Vergl. die Diagramme Fig. 1" und 1^ desselben p & . 



2 ) Wir bezeichnen die allgemeinen n-flache mit p n und verstehen unter p n stets 

 den Huf, unter p w " das Prisma, wahrend die mit weiteren Indices versehenen p UI 

 y) /( TV ,... die übrigen (für n =z 7 durcli die Figuren 6—8 erlauterten) Polyeder p sind. 



3 ) Schoute, a. a. 0. S. 28. 

 ") S« iioute, a. a. O. S. 65. 



