4 UEP.ER DIE ABLEITUNG DER ALLGEMEINEN POTATOPE, U.S. W. 



Klasse ab zu konstruieren , sovvie aus den p n erster Klasse, die nur 

 ein Breieck besitzen (man schneide eine Scheitelkante dieses Drei- 

 ecks ab) oder zwei Dreiecke mit genneinsamer Scheitelkante A IB (man 

 un ter werf e dièse Scheitelkante der zweiten Konstruktion). Schneidet 

 man zwei aufeinanderfolgende Kanten AB, B C einer Grenzflâche 

 des p a durch ein Fünfeck ab, so erhalten die beiden Scheitelflachen 

 in A und C je eine Kante mehr, aber an Stelle der das Kanten- 

 paar AB, B C enthaltenden Flàche tritt eine Flache mit uni eins 

 geringerer Kantenzahl. Dièse dritte Fundamentalkonstruktion zur 

 Erzeugung derp n + l d ritte r Klasse brandit offenbar die/?,, erster Klasse 

 nicht mehr zu beriicksichtigen und von den p n zweiter Klasse kom- 

 men nur solche Polyeder in Frage, bei denen die Scheitelflachen in 

 A und C allein Vierecke sind, wâhrend die Flache mit dem Kanten- 

 zuge ABC mindestens sechskantig sein muss. Ueberdies sind zur 

 Konstruktion der p l} + 1 dritter Klasse samtliche p n dritter Klasse zu 

 verwenden; aber auch dabei muss die Flache mit dem Kantenzuge 

 ABC mindestens sechskantig sein. Es existieren nun bekanntlich 

 nur allgemeine Polveder dieser drei ersten Klassen, da stets 



3/s + 2/4 +./ 5 = 12 +/7 + 2/ 8 + • • • 



sein muss. l ) Somit ist eine vierte Fundamentalkonstruktion nicht 

 nötig ; deun die Einführung eines Sechsecks erübrigt sich , da das 

 dadurch zu erzeugende p n + d sicher Drei-, Vier- oder Fünfecke 

 enthalten muss , also durch eine der 3 ersten Fundamentalkonstruk- 

 tionen sich aus einem p n ergeben wiirde. 2 ) Nur mit Rücksicht 

 auf die Ableitung der allgemeinen Polytope betrachten wir noch 

 weitere Schnitte der Polyeder. In erster Linie kommen hier die 

 Schnitte durch Ebenen in Betracht, die sich als Weiterführung der 

 bisherigen drei Konstruktionen auffassen lassen , wenn namlich ein 

 Polyeder durch eine Ebene so geschnitten wird , dass //. auf ein- 

 anderfolgende von den A Ecken einer Grenzflache (/tt < A — 1) auf 

 eine Seite dieser Ebene zu liegen kommen, ohne dass auch irgend 

 eine seitende Flache des A — ecks ihrer ganzen Erstreckung nach 

 mit auf diese Seite der Ebene fâllt. Es entsteht dann durch diese 

 ,,/x — te Konstruktion" aus dem p' H ein p n + , das sich natürlich 

 auch durch eine der Konstruktionen u,= l, 2, 3 erhalten liess. 

 Jedenfalls kann man an einem p n das als Vieleck grösster Kanten- 

 zahl ein a — eek enthalt //.=A — 1 soldier Konstruktionen an dieser 



') Vielecke u. Vielflaclie, S. 84. Schoute, a. a. O. S. 5G. 



2 ) Die dritte Konstr. wird erst nötig bei Ableitung der p„ aus den p tl und führt 

 auf das einzige p 12 dritter Klasse, ein von 12 Fünfecken begrenztes Polyeder, das mit 

 dem regulâren Dodekaeder isomorph ist. 



