DIE CONGRUENZEN VON w = c* : w UND W =w*:c. 35 



Wir finden hieraus 



A 1 ( /A a? 3 -f pi w 4 — a, a? 3 — V r 4 ) -f A 2 2 «r 3 -+- J p 2 / a? 4 -- « 2 a? 3 — b 2 w 4 ) = 0, 

 oder 



Ai Cft — fli) + A 2 (/a, — a 2 ) = ) 



AiQpi'— V)-M 2 Qö 2 '— ^') = öj' 



folglich lautet die Bedingung für die Schneidung: 



p l ' — 6 i ' = p 2 '- -6 2 ' 



oder , verraöge der Relationen 



l>\ Pi' = 1 . P 2 V.i = A : 



K &<>' 



Pi = pi _, 



Pi — «1 P 2 a 2 



oder endlich : 



Pi (Pi — fli) (1 — 7> 2 V) = / y 2 Cft — a 2) C 1 — Pi V) ■ ■ ( 8 ) 



Die Gleichung der axialen Regelrliiche von / ergiebt sicli , wenn 

 wir noch /v, und p 2 ans den Gleichungen (1) des Congruenzstrahles 

 und der Gleichung (8) eliminiren. Die Gleichung (8) schreiben wir 

 in dieser Form : 



Kv?H — KpiPi —Pi 2 +p 2 2 — («l K — a 2 K)p\P2 + a iPi — 



-a 2 p 2 = (9) 



Aus den Gleichungen (1) folgt 



2 



'3 Pi — x i P\ 



X 3 P2 = X 2 P2. '~ X ± 



(10) 



Multipliziren wir (9) mit x 3 , so ergiebt sich die Gleichung 



K x 3 V?H — K XzPiP* — x -iP 2 + x s p 2 2 ~ 

 — (aj b 2 ' — a 2 bl) # 3 ;/, p 2 -j- a, a? 3 ft — « 2 %i? 2 = 0. 



Wir erniedrigen nur ihren Grad mit Hülfe der Ausdrücke (10) 

 und erhalten dann 



B 3* 



