72 DIE CONGRUENZEN VON io=c*~:w UND w' = w*:c. 



Sie besteht aus der Gerade X 2 A und einem durch X, , X 2 und 

 X 3 hindurchgehenden Kegelschnitt y x . 



Die Tangenten in X, und X, an clem Kegelschnitte begegnen 

 sieh offenbar im Punkte A. 



Die Schnittkurve der Regelflâche (d l)( ) in &> n (a? 3 == 0) wird durch 

 die Gleichung 



•''1 ' r -i ( a r v \ — a \ ' r -i) — (' ? 'i 2 — %%) '''4 ~ • • (103) 



vertreten. 



Diese Gleichung stellt eine kubische Kurve dar, welche durch 

 die Punkte X t , X 2 und A s (den Schnittpunkt von X Z A mit X ± X^) 

 hindurchgeht , und in A r 4 einen Doppelpunkt aufweist, deren Tan- 

 genten X i mit den Punkten /i 7 und Ti' verbinden. Die Tangenten 

 in X i und X 2 sind die Bilder von X, ./ und X 2 ^. Sie schneiden 

 sich in dem gleichfalls auf der Kurve liegenden Punkte A' (a\ : a? 4 = 

 = 1 : ai , .?'_, : <? , 4= 1 : a 2 , œ 3 = 0). 



Der Kegelschnitt y* und die Gerade X 3 A, welche zusamnien 

 den Durchschnitt von (d m ) mit w a bilden , schneiden sich ausser 

 X 3 , im Punkte B , woffir gilt 



a? 4 = 2fl r ;'3, a? 2 = 2a 2 #? 3 , a? 4 = Ü. . . . (104) 



Dieser Punkt B muss ein Doppelpunkt des Schnittes in w sein ; 

 er ist also ein Punkt der Doppelgerade A der Regelflâche (d lU ). 

 Auch X 4 , der Doppelpunkt des Schnittes in w , liegt auf A. Die 

 Doppelgerade A von (d in ) wird daher durch die Gleichungen 



a? 1 =2a 1 a? 3 , a? 2 = 2 «2*3 (105) 



dargestellt. 



Die einfache Leiilhiie ist mit dem Congruenzstrahle = AA' 

 identisch, welcher A mit seinem Pilde A' in w verbindet. Diese 

 Gerade wird ja durch jede Gerade d m geschnitten , weil sie auf 

 der axialen Regelflâche jeder Gerade m liegt. 



Eine Ebene V durch die einfache Directrix ist bestimmt durch 



A 1 (r/ 1 ,i\ — a* a? 3 — a? 4 ) -f- A 2 (« 2 a? 2 — <z 2 2 # 3 — ,/■,,) = (106) 

 oder 



_ A! (a^! — < 2 a.' 3 ) ~h A 2 ( «2^2 — aVa) 

 A, 4- A 2 



Substituiren wir diesen Ausdruck für ,/■,, in die Gleichung (101) 

 der Regelflâche (d m ), so folgt: 



