DIE CONGRUENZEN VON w' = c* : w UN D w = w* ■ c. 9 1 



§ 17. Die obigen analytischen Untei'suchungen haben bis jetzt 

 nur die rein geometrischen Eigenschaften (1er mit dieser Congruenz 

 zusammenhangenden Gebilde erörtert. Es liegt nun nalie uns auch 

 urn die Gestalt dieser Gebilde zu kiinnnern. Diese Gestalt làsst 

 sich freilich im Allgemeinen sehr bequein erkennen , wenn die 

 Gleichnngen der Gebilde auf ein rechtwinkliges Axenkreuz bezogen 

 sind , und zwar mittels dieser Transforniationsformeln : 



Us-t 





X 



3 



c 



x 2 





X 



— i y 





c 



x 3 





h 



— z 







h ' 







z 



1 



x 4 





h 



• 



(156) 



In den vorliegenden Untersuchungen aber würde cine derartige 

 Transformation der Übersichtlichkeit der Gleichnngen bedeutend 

 schaden, weil eben die gewàhlten Coördinaten am meisten der 

 Beschaflenheit der betreffenden Gebilde entsprechen. 



Wir ziehen deshalb die homogenen Gleichungen vor, und wollen 

 ans ihncn die Gestalt der Figuren zu erkennen versuchen. Dies ist 

 nicht schwer, indem die Tatsache, dass die Punkte X 1 und X 2 

 mit den Kreispunkten und die Punkte X s und X 4 bez. mit den 

 Nullpunkten (1er Abbildungsebenen \w\ und \w'~\ identisch sind, 

 uns sofort iiber die Gestalt der Gebilde Aufschluss giebt. 



In dem Folgenden beabsichtigen wir nun die wichtigsten 

 Gleichnngen in Elinsicht auf die Gestalt zu deuten, wobei wir 

 gieichfalls die Resultate allgemeiner Art kurz znsaminenfassen 

 werden. 



a). Der Feldgrad der Congruenz ist zwei, ihr Bündelgrad vier, 

 ihr Axengrad zwei. 



Uni iiber den Gang der Strahlen eine niöglichst klare Vorstellung 

 zu gewinnen, betonen wir, dass von den vier Strahlen, welche nach 

 einen willkürlichen reellen Punkt zielen, stets nur zwei ree// sind. 

 Dies ergiebt sich durch die folgende Überlegnng. 



Ein Strahl p ist reell, wenn er eine réelle Spur in w* hat, 



i , i ■ /-i .. x, x A- iii x 9 x — iy 



(I. 1). wenn die Grossen p l = -^ == — — -, p., =-*■ = - ~^- 



x 3 c x 3 c 



conjugirt complex sind. 



