94 DIE CONGRUENZEN VON a' = r 2 : w UND to' = w 2 -. c. 



Der andere Kegelschnitt liegt in der Ebene (x = 0) der iinagi- 

 niiren Axeii und fàllt mit der durch 



y _ 4 cV- + 4 6-V/.~ = 



cZ = 



(100) 



bestimmten Hyperbel e' zusainnicn. 



ƒ). Die axiale Regelflache einer willkürlichen Gerade /, die [wj 

 in A und [«;'] in I?' selmeidet, ist eine Flâche vom sec/isieu Grade, 

 auf welcher / eine vierfac/ie Gerade ist. Zwei der vier Blatter sind 

 aber stets imaginai'. 



Der Schnitt in [w] enthalt die drei Geraden AO, AI und A J 

 und eine kubische Kurve (siehe (19) S. 39). 



Diese kubische Kurve ist circular und geht durch die Punkte 

 0, A, und den Bildpunkt B der Spur B' in [to']. Der Punkt B 

 ist Tangentialpunkt der Kreispunkte. 



Die Tangente in ist die axiale Projektion aus 00' des in [«;'] 

 liegenden Bildes der Gerade OA. 



Die Tangente in A ist die axiale Projektion aus der Axe / auf 

 die Ebene \w] des A zugeordneten Punktes A'. 



Die axiale Regelrlache von / enthalt eine circulare kubische 

 Doppelkurve, welche / zweifach schneidet. 



Wen n die Gerade / die Gerade 00' schneidet, so wird die 

 Doppelkurve eine kubische circulare Plankurve mit einem Doppel- 

 punkt auf /. 



Wenn die Gerade / {l fJ ) den Ebenen [ui] und [to'] parallel ist, 

 und ihr Schnittpunkt mit (1er unendlich fernen Gerade der Ebenen 

 \jo] und \_w'] mit L /z bezeichnet wird, so geht die kubische Kurve 

 in [w\ durch L (i , wahrend ihre Tangente in diesem Punkte die 

 Projektion von /^ aus 0' auf \w\ ist. Der gemeinschaftliche Tan- 

 gentialpunkt der Kreispunkte liegt nun in 0. 



Die Doppelkurve ist hier aus einem Kegelschnitt und (1er unend- 

 lich fernen Gerade der Ebenen [w~] und \tc'] zusammengesetzt. Die 

 Richtung des Schnittpunktes dieser beiden Bestandteile ist zur 

 Richtung von l fi rechtwinklig. Der Doppelkegelschnitt schneidet 

 natilrlich auch die Gerade l lJL . 



Wenn / der Ebene [w] parallel ist und überdies 00' schneidet, 

 so ergiebt sich die Tangente in O an der kubischen Kurve in [to] 

 als die axiale Projektion aus 00' auf [w] derjenigen in \_w'~\ liegenden 

 Gerade , welche das Bild ist der mit l fJ . parallelen durch gehenden 

 Gerade in [w] , wahrend die Asymptoten alle nach O convergiren. 

 Die Doppelkurve ist jetzt aus einem der Ebene [w] parallelen Kegel- 



