96 DIE CONGRUENZEN VON w = C a : to UND te' = w* : c. 



Fokalellipse in der Ebene der reellen Axen und in K' an der 

 Fokal hyperbel in der Ebene der iinaginàren Axen.. 



Die TorsalpunMe T m nnd T m sind die Schnitte von m bez. mit 

 der reellen und der imaginàren Axe in [w]. 



k). Wenn wir die Gerade m uni einen Punkt A rotiren lassen, 

 so beschreibt die Doppelgerade d m eine kubische Regelflâche. 



Der Schnitt dieser Flàche mit [to] bestebt aus der Gerade O A una einem 

 Kreis y* , welcher durch O geht und seinen Mittelpnnkt in A hat. 



Die Schnittkurve in [to] ist eine circulare kuhische Kurve, vvelche 

 in 0' einen Doppelpunkt hat, mit den Coordinatenaxen als Tan- 

 genten. Ihre réelle Asymptote yerlàuft parallel mit OA. Der Tan- 

 gentialpunkt der Kreispunkte ist dem Pnnkte A zugeordnet. 



Der Kreis y x und die Gerade O A , welche zusammen den 

 Schnitt in [to] bilden, treffen sich, ausser 0, im Pnnkte B (1er 

 Geraden OA, für welchen AB = O A ist. 



Die Doppelgerade A (1er Regelflâche (d in ) verbindet 0' mit B. 



Die einfache Lelt linie von (d m ) ist mit dem Congruenzstrahle 

 a = A A' identisch. 



Die ZwickpnoiMe K x und K 2 sind die Punkte, wo A, ausser 0', 

 die Fokalflàche tritTt. Sie sind imaginai'. 



Die beiden Torsallinien f x und f 2 verbinden K x (auf F x ) mit 

 J{=X X ) und K 2 (auf i^ 2 ) mit J (= Z 2 ). 



Die TorsalpunMe A fi und ^ A sind die beiden Brennpunkte von «. 



Wenn der Punkt A die Ebene [w\ durchlàuft, so beschreibt A 

 den Strahlenbiindel 0' und a die Congruenz. 



/). Wir wollen jetzt die Regelflâche betrachten, welche erzeugt 

 wird (lurch die auf einem durch X, und X 2 gelegten Kegelschnitt 

 y 'u nihenden Strahlen. Dieser Kegelschnitt ist offenbar ein Kreis 

 in einer mit [to] parallelen Ebene. 



Die betreffende Regelflâche ist vom achten Grade und hat in 

 den Kreispunkten von [to] vierfache Pnnkte. 



Der Schnitt in [to] besteht aus zwei Geraden durch /, zwei 

 Geraden durch / und einer bicircularen biquadratischen Kurve , 

 deren Tangenten in den Kreispunkten / und J identisch sind mit 

 den Linien, welche diese Kurve zum vollstandigen Schnitt erganzen. 

 Die beiden Geraden durch 1 können auch als diejenigen Congru- 

 enzstrahlen betrachtet werden , welche in dem I unmittelbar vor- 

 angehenden Pnnkte auf dem Kreise y {JL ruhen ; analoges gilt für 

 die beiden Geraden durch /. 



m). Wenn der Kreis y, z in [»] liegt, und daher mit y œ be- 

 zeichnet werden muss, ist die Regelflâche vom vierten Grade, und 

 hat die Kreispunkte von [to] zu Doppelpunkten. 



