100 DIE CONGRUENZEN VON to' = c 2 : w UND to' = w^ : c 



§ 3. Die Fokalflàche. 



Von den beiden Gleichungen (1), welche znsammen einen Con- 

 gruenzstrahl p bestimmen , stellt die erste eine Ebene dnrch X 2 , 

 die zweite erne Ebene dnrch X x dar. 



Wenn wir p x alle Werte erteilen, wird die erste Ebene einen 

 Kegel mit X 2 als Spitze umhiillen, dessen Gleiclmng wir erhalten, 

 indem wir die Diskriniinante (1er genannten Gleiclmng verschwinden 

 lassen. Sie lantet deshalb 



4 x t a? 4 -\- x*= . 



Der dnrch die Ebene x\ =p i x 3 -\- P\X k umhüllte Kegel ist daher 

 vom zweiten Grade; er soil mit F 2 bezeichnet werden. 



Der durch die Ebene x 2 =p 2 x â -\- p 2 *\ umhüllte Kegel wird 

 dure h 



4a? 2 a? 4 -\- x.? = 



dargestellt, und hat seine Spitze in X i . 



Aus dem Vorgehenden erhellt, dass die eine Ebene, welche den 

 Congruenzstrahl p trâgt, den quadratischen Kegel F 2 , die andere 

 durch p gelegte Ebene den quadratischen Kegel F x berïihrt. Der 

 Congruenzstrahl p ist demnach eine gemeinschaftliche Tangente der 

 beiden Kegel F x und F 2 . 



Wir gelangen also zu der Einsicht, dass die Strahlen der Con- 

 gruenz, toelche der JBeziehing w' = ur : c angehört, die geineinschaft- 

 lichen Tangenten sind der beiden Kegel 



F,... 4^ + ^=0,1 

 F 2 ... 4**4 + «ƒ = <). I 



Weil ein Punkt von F x zwei zusammenfallende Strahlen tragt, 

 und dasselbe von einein Punkte von F 2 gilt, haben wir F x und 

 F, als die beiden Bestandteile der Fokalflàche zu betrachten. 



Âuch hier sollen dièse Kegel Fohalkegel genannt werden. 



Die beiden Eokalkegel bestimmen znsammen einen Büschel qua- 

 dratischer Flachen, welcher durch 



X x (4 x x ,x\ -\- xi) -f- A 2 (4 x. 2 x k 4- a? 3 2 ) = 



dargestellt wird. 



Das durch x x -f- /, = angewiesenc Gebilde bat die Gleichung 



{x x ■ — x 2 )x^ = 0. 



Diese Flache ist also in zwei Ebenen ausgeartet, welche zusam- 



