DIE CONGRUENZEN VON w = c 3 : to UND w' = io 2 :c. 117 



(Pi — Çi) x 3 = — {P\ — ?i) (Pi + 2i) x i> I 



O2 — ?2) ^3 = — O2 — f2) (i?2 + ?2) ^4 , I 



also aus 



a?c 



= ■— (j»l + ?l) «4 = — (p2 + f2) *4> • • • (24) 



welche Gleichungen sich vermöge (23) vertragen. 

 Aus (1) folgt weiter 



x x = — Pi (pi -J- q [) a? 4 -[- /V a?4 = — p x q x x k , . . (25) 



x 2 = — p 2 (p 2 -\- q 2 ) o?4 +^2 2 ^4 = — Piq-iX^. . . (26) 



Wenn die Grossen p ± , p 2 , q x und £ 2 audi den Gleichungen (21) 

 und (22) geniigen, so ist D der Schnittpunkt zweier Strahlen, 

 welche beide / schneiden ; I) ist alsdann ein Punkt der Doppelkurve 

 der Axialen Regelflàche von /. 



Obigen Gedankengang zusammenfassend, können wir behaupten, 

 dass der in der Ebene 



Ai (Xi — <z, x 3 — h^ a? 4 ) -j- A 2 (x 2 — a 2 x A — b 2 ' a? 4 ) = (20) 



befindliche Punkt 1) der Doppelkurve durch 



X\ = P\ q^x^, ( Z ) 



x 2 = — pBfrVi* (26) 



a? 3 = — fa -4- ^) a? 4 = — (p 2 -\- q 2 ) x k . . . (24) 

 bestinimt ist, wenn pi, p 2 q x und q 2 den Bedingungen 



A, (p l — a,) + KAlh— <k) =0 ... (21) 



Ai (qi — a,) -f A 2 (q , — fl 2 ) = Ü ... (22) 



genugen. 



Die Gleichungen der Doppelkurve erhalt man, indem man aus 

 (21), (22), (23), (24), (25) und (20)^,^., q x und q 2 eliminirt; 

 wir bekommen dann zwei Gleichungen in A, : A 2 , aus welchen wir 

 mit Hülfe von (20) das Verhaltniss x x : A 2 fortschaffen können. Es 

 bleiben dann zwei Gleichungen übrig, in welchen neben den Con- 

 stanten a x , a 2 , b x ' und b 2 nur die Coördinaten auftreten; sie stel- 

 len zwei Flàchen dar, welche sich in der Doppelkurve schneiden. 



Zunachst stellen wir die Anzahl der Schnittpunkte von / mit der 

 Doppelkurve fest. 



