144 DIE CONGRUENZEN YON w' =c*:w UND w' = w* : c. 



.leder Punkt A in w*> bestimmt eine derartige Regelflache (d m ), 

 auf (1er a — A A' die einfaehe Leitlinie, X x X 2 die Doppelgerade ist. 



Wenn wir ./ die ganze Ebene to* beschreiben lassen, so wird 

 die einfaehe Leitlinie die Strahleneongruenz erzengen ; die Doppel- 

 gerade dagegen bleibt immer mit der Gerade X x X 2 identiseh, 

 wàhrend A, nnd X 2 sieh stets als Zwiekpnnkte verbalten. 



§ 13. Die Regelflâche der Congruenzstrahlen, welclie auf einem 

 (lurch die Vunkte A', nnd A 2 hindurch geitenden Kegehchnitt ru/ien. 



Wir legen den Kegelschnitt TV > auf welchem die Erzeugenden 

 (1er zu nntersuchenden Regelflache rulien, in die Ebene w^, 



nnd geben ihm die Gleichungen 



*i$iV\ a? 2 + *i («2 ft #3 + *sft*4) + ®a(«i ft*3 -f * 3 A a? 4 ) + 



+ Kft*V + *3/W)=0, .... (114) 



a? 3 = ^ia?4 (115) 



(Vergl. I. Abschnitt, S. 20). 



Die Erzeugenden der jetzigen Regelflâche haben diejenigen Coör- 

 dinaten (pi, p 2 ), welche (1er (lurch Elimination von a? ls x. 2 , a? 3 und 

 a? 4 ans (1), (114) und (115) ermittelten Beziehung geniigen. Die 

 Elimination von oe z liefert 



«3 ft «1 ' 7 '2 + 0*2 A P + «3 ft) <>'l < ? \ + («1 ft /* + <*3 ft) »2 «4 + 



-K"o ft H? + "sPo)œ*=0, 



Durch Elimination von <t\ und x. 2 gelangen wir zu 



«3 ft/V/V + ^3 ft /*Pi 2 A + «3 ft /W* 2 + («a ft /* + *3 ftW + 



+ («1 ft/^+ «3 ftW+ «»ft^ S Ai»*+(«2ftA*+ *sft)m + 



+ («1 ft /" + *3 ft) Wl + («0 ft /^ + *3 ft) = , ■ (H G ) 



oder 



7o a>2 8 -|- 7i a 2 ^2 + y»ft pi + 7i>i 2 + r-i'yv + 7o>i^2 + 



+ 7i>i + 7-2>2 + 7u" = (117) 



W , 211 — ^l< ? 3 + ' ? 'l o , , —^2^3+^2 



Wir ersetzen nun y/f duren ~>Pz dnrch — — , 



nnd erhnlten dann 



