154 DIE CONGRUENZEN VON w' = c*:w UND w' = w* : c. 



punkte, deren Tangenten X x und X 2 mit dem B zugeordneten 

 Punkte B' verbinden. 



Ini Allgemeinen wird ein Schnitt mit einer Ebene durch X i X 2 

 in X[ und X 2 zwei Rückkehrpunkte besitzen , deren Tangenten sich 

 auf der Gerade BB' schneiden. 



Wir bestimmen nun die Doppelkurve welche sich auf der Regel- 

 fiache befindet. 



Ein Congruenzstrahl p (//,, p 2 ) schneidet y œ , wenn der Beziehung 



^Ihlh + «ai»i ~f «1^2 + *o = 0, . . . (143) 

 ein Strahl q (q i , q 2 ) trifft y a, , wenn der Bedingung 



*3q\q-i-\-*iq\ + *i$ , 2 + *o = o • • • (144) 



genilgt wird. 



Die Strahlen p und q schneiden sich, wenn man hat 



Pi + 7i =P-i + q~2, (23) 



wahrend ihr Sehnittpunkt durch 



X\ — p^q^x^, j . . (<«<3) 



a? 2 = — JPiCi^k* ■ ■ (26) 



x -a = — (ft + ft) «4 = — (ft + ? 2 ) »4 I • • (24) 



bestimmt ist. 



Es sollen jetzt aus (143), (144), (23), (24), (25) und (26) die 

 Grossen p if p 2 , q A und q.\ eliminirt werden. 



Die Elimination von q 2 aus (144) und (23) ergiebt 



«aft ft + ^i — «aft^i + «Lft— «lft ~h («l + «2)21 +^o = 0. (145) 

 Durch die Elimination von p 2 aus (145) und (143) erhâlt man 



*a 2 Pi2i(Pi + Ci) + *i*s(ft + Ci? + 2 *2«aftft + 



-J- « 2 + «i <h + o^) (^ -f q t ) -f 2*0^ = 0. (146) 



Mit Hülfe von (24), (25) und (26) schreiben wir 



h=c^x 1i w z -J- ct^mi — 2a 2 a 3 ^^4 — (^ 2 -4- «^ -f- « «g)a? 3 a? 4 -f- 



+ 2«vW = (147) 



Diese Gleichung stellt einen quadratischen Kegel k 2 , mit X 2 als 

 Spitze, dar. 



Hàtten wir zuerst jw t und q x eliminirt, so wiirden wir zu 



