DIE CONGRUENZEN VON w' = c^-.w UND v>' = w*ic. 161 



Die beiden Fokalcylinder beriiliren ausserdem einander und die 

 Ebene [w] in der nnendlich fernen Gerade von \jo\. 



Dièse bildet mit der Hyperbel e den reellen Bestandteil der 

 Fokalflâche. 



f). Die axiale Regeltlâche einer willkiirlichen Gerade /, welche 

 [w~\ in A und [10] in B' schneidet , ist eine Flache sechsten Grades, 

 mit der vierfachen Gerade /. Zwei der vier Blatter sind immer 

 imaginar. 



Der Schnitt von [w] mit dieser Regelflache besteht aus den drei 

 Geraden AI, A.T und AX* und aus einer circularen kubischen 

 Kurve, welche durch X x , durch A und durch die vier Bildpunkte B 

 der Spur B' von / in [«/] geht. Der Punkt A ist überdies der 

 gemeinschaftliche Tangentialpunkt der Kreispunkte. Die Tangente 

 in A ist die axiale Projektion aus / auf [w] des Bildes A' von A. 



Der Schnitt in [«;'] ist eine Kurve sechsten Grades /, welche 

 in den beiden Kreispunkten I und J Rückkehrpunkte hat, deren 

 Tangenten sich im Bilde A' von A schneiden. 



Die Kreispunkte sind uniplanare Punkte der Regelflache. Jeder 

 Schnitt mit einer zu \_io\ parallelen Ebene hat ja in I und /zwei 

 Rückkehrpunkte. Die Kurve / berührt noch die unendlich f erne 

 Gerade im Punkte X x der reellen Axe. Sie hat überdies in B' 

 einen vierfachen Punkt, dessen Tangenten die axialen Projektionen 

 aus / auf [«/] der vier nach B' zielenden Congruenzstrahlen sind. 



Die axiale Regelflache von / besitzt eine ei 'ren lare kubisclie Dop- 

 pell'iirve , welche / in zwei Punkten trifft. 



Wen n / die Gerade 00' schneidet, so enthalt der Schnitt in 

 \w] den Punkt O und wird daselbst durch O A berührt, wahrend 

 die Kurve / in O' einen Rückkehrpunkt hat, dessen Tangenten 

 mit O' A' zusammenfallen. 



Die Gerade 00' gehort der Regelflache in ihren ganzen Aus- 

 dehnung an. 



Die Doppelkurve hat keine speziellen Eigenschaften aufzuweisen. 



Wenn die Gerade / (l, 4 ) den Ebenen [io~] und [m/J parallel ist, 

 so zerfâllt die kubisclie Kurve von [ie] in die unendlich ferne 

 Gerade und in einen Kegelschnitt; dieser trifft die unendlich ferne 

 Gerade in zwei Punkten, welche die Bilder des unendlich fernen 

 Punktes L (i von /, z sind. 



Der Schnitt der Regelflache mit [w] besteht aus dem erwàhnten 

 Kegelschnitte und aus der vierfach zu zahlenden unendlich fernen 

 Gerade. 



Die Schnittkurve k ist in die doppelt zu zàhlende unendlich 

 ferne Gerade und eine biquadratische Kurve zerfallen, w r elche in 



Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (Ie Sectie) Dl. X. Bil 



