DIE CONGRUENZEN VON W = c^-.w UND to' = w*:c. 163 



Der Schnitt mit [10] ist aus der doppelt zu zàhlenden unendlich 

 fernen Gerade und aus der Gerade m zusammengesetzt. 



Der Schnitt mit [_w~\ ist in die unendlich feme Gerade und in 

 den Bildkegelschnitt /i von m zerfallen. Der Kegelschnitt p. ist eine 

 Parabel , deren \xe derjenigen Gerade parallel ist , welche die durch 

 O gehende , mit m parallèle Gerade abbildet. 



Die Doppelgerade d m ist zur Axe der Parabel /x parallel ; sie 

 schneidet die Ebene der reellen Axen in einem Punkte K der 

 Eokalhyperbel e. 



Der unendlich feme Punkt M 3 ' der Parabel /x ist der eine 

 ZioicJqmnkt ; der andere ist K. 



Die durch M 3 ' gehende Torsallinie ist mit der unendlich fernen 

 Gerade von \w\ , die in K ruhende Torsallinie ist mit der Tan- 

 gente in K an der Fokalhyperbel e identisch. 



Der erste Torsalpiinkt ist der unendlich feme Punkt auf w. Der 

 zweite ist der Schnittpunkt von ;// mit der reellen Axe. 



Die zweite Torsallinie kann also auch betrachtet werden als die aus 

 dem Schnittpunkte von m mit der reellen Axe an e gelegte Tangente. 

 Der zweite Zwickpunkt ist der Berührungspunkt dieser Tangente. 



/) Wenn wir die Gerade m uni einen Punkt A rotiren lassen, 

 so beschreibt die Doppelgerade d m eine kubische Regeljiache. 



Der Schnitt mit \w\ besteht aus der doppelt zu zahlenden unend- 

 lich fernen Gerade und aus der durch A gehenden , zu der reellen 

 Axe parallelen Gerade. 



Der Schnitt mit [V] ist zerfallen in die doppelt zu ziihlende 

 unendlich feme Gerade und in die Gerade , welche O' mit dem 

 Bilde A' von A vereinigt. 



Die Doppelgerade A ist mit der unendlich fernen Gerade von 

 [w] identisch. Die Zwickpunkte liegen in den Kreispunkten /und </. 



Die eïnfuclie Lei/linie ist der Congruenzstrahl a = AA' . 



Die Torsalpunkte sind die Brennpunkte A fi und yî f2 von a. 



Die Torsallinien sind die Geraden 7A fi und JA f2 . 



Beschreibt der Punkt A die Ebene [to], so fàllt die Doppel- 

 gerade A immer mit der unendlich fernen Gerade zusammen ; die 

 Zwickpunkte behalten ihren Sitz in den Kreispunkten ; die einfache 

 Leitlinie a erzeugt die Strahlencongmenz. 



/) Ein durch X x und X 2 gelegter Kegelschnitt y lA ist offenbar 

 ein zu [w] paralleler Kreis. 



Wir haben also die Rcgclflàche derjenigen Strahlen zu betrachten 

 welche sich auf einem zu [w~] parallelen Kreise y, t stützen. 



Diese Regelflache ist vom achten Grade und had in den Kreis- 

 punkten vierfache Punkte. 



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