164 DIE CONGRUENZEN VON w' = c 2 : w UND w = w* : c. 



Der Schnitt mit [_io\ besteht aus zwei (lurch 1 , zwei (lurch J 

 gehenden Geraden, und aus einer biquadratischen Kurve, welche in 

 den Kreispunkten Doppelpunkte hat und daselbst beriihrt wircl durch 

 die Geraden, welche sie zu dem vollstandigen Schnitte erganzen. 



m) Die Regelflache eines in [to] befindlichen Kreises y x ist vom 

 vier ten Grade. 



Der Schnitt in [to] besteht aus dem Kreis y x und seinen isotropen 

 Tangenten. 



Der Schnitt in [w'\ ist eine biquadratische Kurve, welche in den 

 Kreispunkten Rückkehrpunkte hat, deren Tangenten sich in dem Punkt 

 B' schneiden , welcher dem Mittelpunkte B von y '* zugeordnet ist. 



Im Allgemeinen wird ein mit [to] paralleler Schnitt in den Kreis- 

 punkten Rückkehrpunkte besitzen , deren Tangenten sich auf der 

 Gerade BB' treffen. Auf der Regelflache befindet sich noch eine circu- 

 lare kubische Doppelkurve, welche den Mittelpunkt B von y«> enthalt, 

 wâhrend ihre Spur im Endlichen in [to'] auf der Gerade O'B' liegt. 



Jeder mit [w] parallèle Schnitt hat, ausser zwei Rückkehrpunkten in 

 den Kreispunkten, noch einen gewohnlichen Doppelpunkt aufzuweisen. 



n) Wenn der Mittelpunkt B von y '«, sich in O befindet , so ist 

 der Schnitt in [w] aus dem Kreise y x und den beiden isotropen Ge- 

 raden durch O zusammengesetzt. 



Der Schnitt in [w'~\ besteht aus einem Doppelkreise, dessen Mit- 

 telpunkt in O' liegt. 



Die Doppelkurve ist in den letztgenannten Kreis und in eine 

 der Ebene der reellen Axen angehörende Gerade zerfallen. 



o) Wenn der Kreis y*> durch O geht, so gehort die Gerade 00' 

 der Regelflache an. Die in [to'] befindliche Kurve hat ja in 0' einen 

 Doppelpunkt. 



Die , hier nicht ausgeartete , kubische Doppelkurve , enthalt natiir- 

 lich die Kreispunkte , den Mittelpunkt B von y œ und den Punkt 0'. 



Die Regelflache der Strahlen , welche auf einem in [«/] befind- 

 lichen Kreis rnhen, unterscheidet sich nicht wesentlich von der 

 Regelflache des Kreises y ti . 



Hiermit ist unsere Aufgabe, die Congruenzen von w' = c 2 :w 

 und in' = tv 1 : c zu studiren , erledigt. Die Untersuchungen sind 

 rein analytisch gehalten , weil sie in dieser Form am besten als 

 Einführung in die spàteren Entwickelungen dienen können. 



Die obigen Congruenzen lassen sich aber auch sehr bequem rein 

 geometrisch behandeln ; die betreffenden Entwickelungen finden sich 

 in meiner Inauguraldissertation. l ) 



M. J. van Uven: Conforme Afbeelding door Stralencongruenties. 



