ANALYSE IRRATION ALER KURVENGLEICHUNGEN. 171 



Diese Gleichung vvürden wir aber nicht erhalten, wenn wir 

 x. A ■=■ setzten in der rationalen Gleichung , welche vom Grade 

 inn in den Coördinaten (explicit) und vom Grade n 2 in den Faktoren 

 P u P 2 und P 3 ist. 



Weil die Schnittpunkte der Kurve mit der Gerade a? 3 = ein- 

 mal keine anderen sein können als diejenigen, welche dnrch die 

 Gleichung (24) bestimmt werden , und der Grad dieser Gleichung 

 n mal zu niedrig ist, so muss die Substitution -r 3 = in der End- 

 gleichung diese Gestalt haben : 



((W^i" — (— l) M (P 2 ) â "tf 2 T = 0. • • • (25) 



Wàhrend also die Gleichung (24) so viel Schnittpunkte mit 

 £> 3 = bestimmt als ihr Grad angiebt, so zeigt die Gleichung (25) 

 dass jeder Schnittpunkt u-fnch zu zahlen ist. 



Wollen wir somit die Punkte auffinden , welche die Kurve mit 

 der Gerade x 3 = gemeinsam hat , so haben wir in der gegebenen 

 Gleichung a? 3 =0 zu setzen, die resultirende Gleichung rational zu 

 machen und nachher jeden der dure//, letztere bestimmten Punkte n-fach 

 zu zàhlen. 



Die Glieder, welche man eriibrigt, wenn man in der rationali- 

 sirten Gleichung x % = setzt, sind gerade die Glieder höchsten 

 Grades in ,x\ und a? 2 . Die obige Überlegung ermöglicht uns diese 

 Glieder zu bestimmen. 



lhre Gesammtheit ist ni. mit der linken Seite der Gleichung (25) 

 identisch. 



Die rationalisirte Gleichung hat somit die Form 



((P 1 ) 3 n a?i m_ ( _ l ) n ( P 2 ) 3 « a?2 -]»4_>F ( P l5 P 2j P 3)a?1>a?2ja;3) = . (26) 



So weit a.\ und a? 2 explicit in Y auftreten, erscheinen sie höch- 

 stens im Grade m (n — 1). 



Falls P it P., und P :i lineare Polynomia in a\, ,r 2 und lV s sind, etwa 



P i = p n a\ -f- ;; 12 x, -\- p Vi a? 3 , 

 P-i=Pi\ X\ + Ihi œ-2 + Pu %i » 

 P 3 =P-i\ *i + Pai %2 -\-Piz «3 . 



so gilt 



(-Ps)a = V i\ x \ + /»»*>• 



