172 ANALYSE IRRAÏIONALER KURVENGLEICIiUNGEN. 



Die rationale Gleichung (21) ist sodann voni Grade 



n 2 -\- nm , 



wâhrend die Gleichung (24) voni Grade 



m -\- u 

 ist. 



In dieseni Falle hat die Kurve mit der Gerade x 3 = m -j- n 

 verschiedene Punkte gemein, von denen jeder w-fach zu ziihlen ist. 



Wir setzen nun voraus, dass X 3 (x { = 0, a? 2 = 0) ein /--fâcher 

 Punkt ist, wonach die Substitution 



a? 2 = ^'t'l 



k Faktoren a\ absondert. Die höchste Potenz, unter der x 3 er- 

 scheint, ist demnach in der rationalen Gleichung am h niedriger 

 als der totale Grad. 



Es muss also audi in der Gleichung (22) der Grad in x 3 niedri- 

 ger als der totale sein. Wenn der Grad in x 3 denijenigen in x\ 

 gleich ware, so würde er auch, wie oben gezeigt worden ist, nach 

 der Rationalisirung diesem gleich sein. Umgekehrt: ist in 



P 1 *i*-h>,«b»+ P 3 ^=0 • • • • (21) 



der Grad in ae 3 niedriger als derjenige der ganzen Gleichung, so 

 weist dieses auf einen vielfachen Punkt in X 3 hin. 

 Zuin Beispiel walden wir 



m in 



{alx x -f aî'œ 2 -4- a x "'x 3 )x x n + (ff 2 \r, -\- aó'x 2 -f- a 3 '"x 3 )x 2 n -J- 



, ia 



-f (« 3 'a? 4 -t-a 3 "a? 2 )*3« = (27) 



VI 



Der Grad dieser Gleichung ist 1 -\ — • 



5 ' n 



In der Annahme 



ist der höchste Grad in x 3 uur 



m > n 



VI 



n 



In diesem Falle ist X 3 also ein vielfacher Punkt. 



Die Tangenten in X 3 ergeben sich , indem man diejenigen Werte 

 für À bestimmt, für welche durch die Substitution x., = Aa?,, einen 

 oder mehrere Faktoren x\ abgetrennt werden. 



Die Gesamnitheit dieser Tangenten wird offenbar ermittelt, indem 

 man den ï'aktor der höchsten Potenz von x { gleich Null setzt. 



