174 ANALYSE IRRATION ALEE KURVENGLEICHUNGEN. 



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œ. 1 {b i x i ) n — a\ (è.,a?j) n -\- (a^ — a i œ. 2 )œ- i n . 



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Der Faktor von a? 3 w ist claher 



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Der Punkt X 3 ist auch hier singular von der Ordnung n". Die 

 höchste Poten z von œ 3 ist ja nach dem Rationalisiren x 3 mn ; ihr 

 Exponent ist mithin urn >r niedriger als der totale Grad. 



Die Tangenten in X 3 bestimmt man jetzt aus 



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d i " a\ 2 — f) 2 n a\ -j- a ± x x — a^œ. 2 = 0, .. • • (31) 

 oder 



du a Oa 



(32) 



b.r — a. 



Es sind hier sovvohl der Zàhler als der Nenner %-deutig. Der 

 Br ach kann also n" verschiedene Werte erhalten. 



Wenn entweder der Zahler oder der Nenner, oder beide (wie 

 in diesem Bruche) unveranderliche Glieder en thai ten, sind von den 

 n' möglichen Werten keine zwei einander gleich. 



Da die rechte Seite von (32) a 2 -deutig ist, so stellt diese 

 Gleichung n 2 verschiedene Tangenten durch X 3 dar. 



Wir folgern somit, dass (1er ?r-fache Punkt X :i n 2 verschiedene 

 Tangenten besitzt. 



Wollen wir untersuchen, ob ein gegebener Punkt ein gewöhn- 

 licher oder ein vielfacher Punkt (1er Kurve ist, so ândern wir 

 zuerst das Coordinatendreieck in der Weise ab, dass der fragliche 

 Punkt zu einer Ecke wird ; sodann untersuchen wir ob der höchste 

 Grad, unter welchem die entsprechende Coordinate auftritt, dem 

 totalen Grade der Gleichung gleich ist, oder hinter ihm zurück- 

 bleibt. Im letzteren Falie liegt der Punkt auf der Kurve. 



Es ist nicht immer leicht herauszufinden , ob der Grad in x 3 

 niedriger ist als der totale. 



In dem herangezogenen Beispiel zeigte X 3 sich schon in der 

 irrationalen Gleichung als ein Punkt der Kurve. In anderen Fallen 

 dagegen sind wir hâufig gezwungen die gebrochenen Exponenten 

 wenigstens teilweise zu beseitigen, damit der Grad in x 3 als 

 niedriger als der totale erscheine. 



